Реши
Краткий ответ:
- а) \(D(y)=\mathbb R\);
- б) \(D(y)=\left(-\infty;\frac53\right]\);
- в) \(D(y)=\mathbb R\setminus\{-1\}\);
- г) \(D(y)=\mathbb R\).
Ключевые шаги:
а) Это многочлен. В многочлен можно подставить любое действительное число: \[ D(y)=(-\infty;+\infty). \]
б) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[ 5-3x\ge 0, \] \[ -3x\ge -5. \] При делении на отрицательное число знак меняется: \[ x\le \frac53. \] Значит, \[ D(y)=\left(-\infty;\frac53\right]. \]
в) Знаменатель не должен быть равен нулю: \[ x+1\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne-1. \] Поэтому \[ D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty). \] Даже если сократить дробь \[ \frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1, \] значение \(x=-1\) всё равно нельзя возвращать: исходная функция при нём не определена.
г) Проверим знаменатель: \[ x^2+1\ge1>0 \] для любого \(x\). Значит, знаменатель никогда не обращается в ноль, поэтому \[ D(y)=\mathbb R. \]
Обсуждение
2 сообщенияреши 101
101. Найдите нули функций, то есть значения \(x\), при которых \(y=0\).
а) \(y=7x^2-6x-1\)
\[ 7x^2-6x-1=0 \]
\[ D=(-6)^2-4\cdot7\cdot(-1)=64 \]
\[ x_{1,2}=\frac{6\pm8}{14} \]
\[ x_1=1,\qquad x_2=-\frac17. \]
Ответ: \(\boxed{x=1;\ -\frac17}\).
б) \(y=\sqrt{7-14x}\)
Корень равен нулю, если подкоренное выражение равно нулю:
\[ 7-14x=0, \]
\[ x=\frac12. \]
Ответ: \(\boxed{x=\frac12}\).
в) \(y=\frac{2x+3}{9-4x^2}\)
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
\[ 2x+3=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\frac32. \]
Но при этом значении
\[ 9-4\left(-\frac32\right)^2=9-9=0. \]
Функция не определена, поэтому нулей нет.
Ответ: \(\boxed{\text{нулей нет}}\).
г) \(y=\frac{5x-1}{x^2+16}\)
\[ 5x-1=0, \]
\[ x=\frac15. \]
Знаменатель \(x^2+16>0\) при любом \(x\), поэтому значение подходит.
Ответ: \(\boxed{x=\frac15}\).
