60,61

Краткий ответ

60.
а) \((x,y)=(16,15),\;(-15,-16)\).
б) \((x,y)=(8,1),\;(4,-7)\).

61.
а) Уравнение имеет 2 решения: \(x=5\) и \(x=-\frac52\).
б) Уравнение имеет 2 решения: \(x=0\) и \(x=1\).

Решение

60а

Из первого уравнения:

\[ x-y=1 \quad\Rightarrow\quad x=y+1. \]

Подставим во второе:

\[ (y+1)y=240, \]

\[ y^2+y-240=0. \]

Разложим на множители:

\[ (y-15)(y+16)=0. \]

Отсюда:

\[ y=15 \quad\text{или}\quad y=-16. \]

Находим \(x\):

• если \(y=15\), то \(x=16\);
• если \(y=-16\), то \(x=-15\).

Ответ:

\[ \boxed{(16;15),\;(-15;-16)}. \]

60б

Из второго уравнения:

\[ 2x-y=15 \quad\Rightarrow\quad y=2x-15. \]

Подставим в первое:

\[ x^2+(2x-15)^2=65. \]

\[ x^2+4x^2-60x+225=65, \]

\[ 5x^2-60x+160=0, \]

\[ x^2-12x+32=0. \]

\[ (x-4)(x-8)=0. \]

Значит,

\[ x=4 \quad\text{или}\quad x=8. \]

Тогда:

• при \(x=4\): \(y=8-15=-7\);
• при \(x=8\): \(y=16-15=1\).

Ответ:

\[ \boxed{(4;-7),\;(8;1)}. \]

61а

Сначала учитываем область допустимых значений:

\[ x\ne0. \]

Умножим уравнение на \(x\):

\[ \frac{25}{x}=2x-5 \quad\Rightarrow\quad 25=2x^2-5x. \]

\[ 2x^2-5x-25=0. \]

Дискриминант:

\[ D=(-5)^2-4\cdot2\cdot(-25)=225. \]

\[ x=\frac{5\pm15}{4}. \]

Получаем:

\[ x=5,\qquad x=-\frac52. \]

Оба значения допустимы, поэтому уравнение имеет

\[ \boxed{2\text{ решения}}. \]

61б

Рассмотрим два случая из-за модуля.

1) \(x\ge0\). Тогда \(|x|=x\):

\[ x^3=x, \]

\[ x(x^2-1)=0. \]

Отсюда \(x=0\) или \(x=1\). Оба подходят.

2) \(x<0\). Тогда \(x^3<0\), а \(|x|>0\), поэтому равенство невозможно.

Следовательно, решений два:

\[ \boxed{x=0,\;x=1}. \]