Объясни

Краткий ответ

а) \(x=-5;\ 3\)

б) \(x=-1;\ \dfrac32\)

в) \(x=\dfrac13;\ 7\)

г) действительных корней нет.

Объяснение

Квадратное уравнение имеет вид:

\[ ax^2+bx+c=0. \]

Если его удаётся разложить на множители, используем правило:

\[ A\cdot B=0 \Rightarrow A=0 \text{ или } B=0. \]

а) \(x^2+2x-15=0\)

Ищем два числа, произведение которых равно \(-15\), а сумма — \(2\):

\[ 5\cdot(-3)=-15,\qquad 5+(-3)=2. \]

Поэтому:

\[ x^2+2x-15=(x+5)(x-3). \]

Тогда:

\[ (x+5)(x-3)=0, \]

\[ x+5=0 \quad \text{или} \quad x-3=0. \]

\[ \boxed{x=-5;\ 3} \]

Проверка: \((-5)^2+2(-5)-15=0\), \(3^2+2\cdot3-15=0\).

---

б) \(2x^2-x-3=0\)

Разложим на множители:

\[ 2x^2-x-3=(2x-3)(x+1). \]

Получаем:

\[ (2x-3)(x+1)=0. \]

Значит:

\[ 2x-3=0 \Rightarrow x=\frac32, \]

или

\[ x+1=0 \Rightarrow x=-1. \]

\[ \boxed{x=\frac32;\ -1} \]

Проверка разложением:

\[ (2x-3)(x+1)=2x^2+2x-3x-3=2x^2-x-3. \]

---

в) \(3x^2-22x+7=0\)

Разложим:

\[ 3x^2-22x+7=(3x-1)(x-7). \]

Тогда:

\[ (3x-1)(x-7)=0. \]

Отсюда:

\[ 3x-1=0 \Rightarrow x=\frac13, \]

или

\[ x-7=0 \Rightarrow x=7. \]

\[ \boxed{x=\frac13;\ 7} \]

Проверка:

\[ (3x-1)(x-7)=3x^2-21x-x+7=3x^2-22x+7. \]

---

г) \(3x^2+6x+10=0\)

Здесь удобно найти дискриминант:

\[ D=b^2-4ac. \]

В данном уравнении \(a=3\), \(b=6\), \(c=10\):

\[ D=6^2-4\cdot3\cdot10=36-120=-84. \]

Так как

\[ D<0, \]

квадратное уравнение не имеет действительных корней:

\[ \boxed{\text{действительных корней нет}.} \]

Главный принцип: сначала попробуй разложить квадратный трёхчлен на множители. Если это не получается, используй дискриминант.