номер 152

Краткий ответ:

а) Равнобедренный треугольник с углами \(40^\circ,70^\circ,70^\circ\). Высота, проведённая из вершины одного из углов \(70^\circ\), не является биссектрисой.

б) Углы \(60^\circ\) и \(120^\circ\), расположенные при разных вершинах, имеют сумму \(180^\circ\), но не являются смежными.

Объяснение:

а)

Пусть в равнобедренном треугольнике \(ABC\)

\[ AB=AC,\qquad \angle A=40^\circ,\qquad \angle B=\angle C=70^\circ. \]

Проведём высоту \(BH\) к стороне \(AC\). Так как \(BH\perp AC\), то в прямоугольном треугольнике \(ABH\):

\[ \angle ABH=180^\circ-90^\circ-40^\circ=50^\circ. \]

Тогда

\[ \angle HBC=70^\circ-50^\circ=20^\circ. \]

Высота \(BH\) разделила угол \(B\) на углы \(50^\circ\) и \(20^\circ\), а не на равные углы. Значит, высказывание ложно.

б)

Возьмём два угла:

\[ 60^\circ \quad\text{и}\quad 120^\circ. \]

Их сумма равна

\[ 60^\circ+120^\circ=180^\circ. \]

Но если они расположены при разных вершинах, то у них нет общей вершины и общей стороны. Поэтому они не являются смежными.

Принцип: чтобы опровергнуть высказывание со словами «в любом» или «все», достаточно привести один контрпример.