Краткий ответ

1. \(\boxed{x=7}\).
2. \(\boxed{\text{решений нет}}\).
3. Начало уравнения на изображении обрезано, поэтому его нельзя надёжно восстановить.
4. \(\boxed{x=\sqrt2}\).

---

Общий принцип решения

Для логарифмических уравнений действуют правила:

\[ \lg a-\lg b=\lg\frac ab,\qquad a>0,\ b>0; \]

\[ \lg a+\lg b=\lg(ab),\qquad a>0,\ b>0. \]

Также:

\[ \lg a=\lg b \Longleftrightarrow a=b, \]

если \(a>0\) и \(b>0\).

Важно: сначала нужно учитывать ОДЗ — область допустимых значений. Аргументы всех логарифмов должны быть положительными.

---

1) \(\lg(x-1)-\lg(2x-11)=\lg2\)

Шаг 1. Запишем ОДЗ

Аргументы логарифмов должны быть больше нуля:

\[ \begin{cases} x-1>0,\\ 2x-11>0. \end{cases} \]

Отсюда:

\[ x>1, \]

\[ 2x>11 \quad\Longrightarrow\quad x>\frac{11}{2}. \]

Пересечение условий:

\[ x>\frac{11}{2}. \]

---

Шаг 2. Объединим разность логарифмов

Используем формулу:

\[ \lg a-\lg b=\lg\frac ab. \]

Получаем:

\[ \lg\frac{x-1}{2x-11}=\lg2. \]

Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, равны их аргументы:

\[ \frac{x-1}{2x-11}=2. \]

---

Шаг 3. Решим полученное уравнение

Умножаем обе части на \(2x-11\):

\[ x-1=2(2x-11). \]

Раскрываем скобки:

\[ x-1=4x-22. \]

Переносим слагаемые:

\[ -3x=-21. \]

Следовательно,

\[ x=7. \]

---

Шаг 4. Проверим ОДЗ

\[ 7>\frac{11}{2}, \]

значит, найденное значение подходит.

Проверка в исходном уравнении:

\[ \lg(7-1)-\lg(2\cdot7-11) =\lg6-\lg3 =\lg\frac63 =\lg2. \]

Равенство верно.

\[ \boxed{x=7} \]

---

2) \(\lg(3x-1)-\lg(x+5)=\lg5\)

Шаг 1. Запишем ОДЗ

\[ \begin{cases} 3x-1>0,\\ x+5>0. \end{cases} \]

Из первого неравенства:

\[ 3x>1 \quad\Longrightarrow\quad x>\frac13. \]

Из второго:

\[ x>-5. \]

Пересечение условий:

\[ x>\frac13. \]

---

Шаг 2. Объединим логарифмы

\[ \lg\frac{3x-1}{x+5}=\lg5. \]

Следовательно,

\[ \frac{3x-1}{x+5}=5. \]

---

Шаг 3. Решим уравнение

Умножаем на \(x+5\):

\[ 3x-1=5(x+5). \]

Раскрываем скобки:

\[ 3x-1=5x+25. \]

Переносим слагаемые:

\[ -2x=26. \]

Отсюда:

\[ x=-13. \]

---

Шаг 4. Проверим ОДЗ

Но по ОДЗ должно выполняться:

\[ x>\frac13. \]

Число \(-13\) этому условию не удовлетворяет:

\[ -13\not>\frac13. \]

Более того, при \(x=-13\):

\[ 3x-1=3(-13)-1=-40<0, \]

\[ x+5=-13+5=-8<0. \]

Логарифмы \(\lg(-40)\) и \(\lg(-8)\) в действительных числах не существуют.

Поэтому \(x=-13\) является посторонним корнем, появившимся при решении уравнения без учёта ОДЗ.

\[ \boxed{\text{Решений нет}} \]

---

3)

На третьем изображении видно только окончание решения:

\[ 3<4,\qquad \text{значит } \sqrt3<2, \]

и ответ \(x=2\). Само уравнение, ОДЗ и основные преобразования обрезаны, поэтому восстановить решение без догадки нельзя.

---

4) \(\lg(x-1)+\lg(x+1)=0\)

Шаг 1. Запишем ОДЗ

\[ \begin{cases} x-1>0,\\ x+1>0. \end{cases} \]

Из первого условия:

\[ x>1. \]

Из второго:

\[ x>-1. \]

Пересечение:

\[ x>1. \]

---

Шаг 2. Объединим сумму логарифмов

Используем формулу:

\[ \lg a+\lg b=\lg(ab). \]

Тогда:

\[ \lg\bigl((x-1)(x+1)\bigr)=0. \]

Ноль можно представить как логарифм единицы:

\[ 0=\lg1. \]

Поэтому:

\[ \lg\bigl((x-1)(x+1)\bigr)=\lg1. \]

Следовательно, аргументы равны:

\[ (x-1)(x+1)=1. \]

---

Шаг 3. Решим уравнение

Используем формулу разности квадратов:

\[ (x-1)(x+1)=x^2-1. \]

Получаем:

\[ x^2-1=1. \]

Отсюда:

\[ x^2=2. \]

Корни:

\[ x=\pm\sqrt2. \]

То есть возможные значения:

\[ x_1=\sqrt2,\qquad x_2=-\sqrt2. \]

---

Шаг 4. Проверим ОДЗ

Нужно, чтобы \(x>1\).

Для \(x=\sqrt2\):

\[ 2>1 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt2>1. \]

Значит, \(x=\sqrt2\) подходит.

Для \(x=-\sqrt2\):

\[ -\sqrt2<1, \]

поэтому это значение не удовлетворяет ОДЗ и отбрасывается.

Проверка принятого корня:

\[ (\sqrt2-1)(\sqrt2+1) =(\sqrt2)^2-1 =2-1=1. \]

Значит,

\[ \lg(\sqrt2-1)+\lg(\sqrt2+1)=\lg1=0. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=\sqrt2}. \]

Главный алгоритм для похожих заданий: ОДЗ → объединить логарифмы → убрать логарифмы → решить обычное уравнение → проверить корни по ОДЗ.