Реши задание на изображении

Краткий ответ

1.

• а) \(z=0\);
• б) \(y=\dfrac{21}{4}\);
• в) \(x=\dfrac{12}{5}\);
• г) \(x=-12\);
• д) \(x=\pm4\);
• е) \(x=\pm\dfrac{59}{3}\).

2.

• а) \(x=-8;\ 3\);
• б) \(p=4;\ \dfrac74\);
• в) \(x=-1;\ 23\);
• г) \(x=2;\ \dfrac73\);
• д) \(x=1;\ \dfrac1{26}\).

3.

• а) \(x=0;\ 7\);
• б) \(y=2\);
• в) \(x=\dfrac{2}{11}\);
• г) \(y=1;\ 10\);
• д) \(x=\pm1\);
• е) \(x=1;\ 2\);
• ж) \(x=1;\ -\dfrac{13}{4}\);
• з) \(x=5;\ -\dfrac72\).

4.

• а) \(x=4\);
• б) \(x=3+\sqrt2\);
• в) \(x=3\);
• г) \(x=\dfrac{5-\sqrt{13}}2;\ \dfrac{5+\sqrt{13}}2\);
• д) \(x=3\).

---

Ключевые шаги

1. Линейные уравнения и уравнения с модулем

а)
\[ z-\frac12z=0 \Rightarrow \frac12z=0 \Rightarrow z=0. \]

б)
\[ \frac16y-\frac12=3-\frac12y \] \[ \left(\frac16+\frac12\right)y=3+\frac12 \Rightarrow \frac23y=\frac72 \Rightarrow y=\frac{21}{4}. \]

в)
\[ 13x-15-9-6x=-3x \Rightarrow 7x-24=-3x \Rightarrow 10x=24 \Rightarrow x=\frac{12}{5}. \]

г)
\[ 12-4x+18=36+4x+18-6x \] \[ 30-4x=54-2x \Rightarrow x=-12. \]

д)
\[ 16-3|x|=4 \Rightarrow |x|=4 \Rightarrow x=\pm4. \]

е)
\[ 26+6|x|=144 \Rightarrow 6|x|=118 \Rightarrow |x|=\frac{59}{3} \] \[ x=\pm\frac{59}{3}. \]

Правило: если \(|x|=a\), где \(a>0\), то \(x=\pm a\).

---

2. Квадратные уравнения

а)
\[ (x+4)^2=3x+40 \] \[ x^2+5x-24=0 \Rightarrow (x+8)(x-3)=0. \]

б)
\[ (2p-3)^2=11p-19 \] \[ 4p^2-23p+28=0 \Rightarrow (4p-7)(p-4)=0. \]

в)
\[ \frac{x^2-1}{2}-11x=11 \] Умножим на \(2\): \[ x^2-22x-23=0 \Rightarrow (x-23)(x+1)=0. \]

г)
\[ \frac{x^2+x}{2}=\frac{8x-7}{3} \] Умножим на \(6\): \[ 3x^2-13x+14=0 \Rightarrow (3x-7)(x-2)=0. \]

д)
\[ \frac{4x^2-1}{3}=x(10x-9) \] \[ 4x^2-1=30x^2-27x \] \[ 26x^2-27x+1=0 \Rightarrow (26x-1)(x-1)=0. \]

---

3. Дробно-рациональные уравнения

Сначала учитываем ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю.

а)
\[ x^2+1\ne0, \qquad \frac{x^2}{x^2+1}=\frac{7x}{x^2+1} \] \[ x^2=7x \Rightarrow x(x-7)=0. \]

б) ОДЗ: \(y\ne0,\ 6\).

\[ \frac{y^2}{y(y-6)} = \frac{4(3-2y)}{y(6-y)} \] После сокращения с учётом ОДЗ: \[ y^2=-4(3-2y) \] \[ y^2-8y+12=0 \Rightarrow (y-2)(y-6)=0. \] \(y=6\) не подходит по ОДЗ, поэтому \(y=2\).

в) ОДЗ: \(x\ne-2,\ 4\).

\[ \frac{x-2}{x+2}=\frac{x+3}{x-4} \] \[ (x-2)(x-4)=(x+3)(x+2) \] \[ -6x+8=5x+6 \Rightarrow x=\frac{2}{11}. \]

г) ОДЗ: \(y\ne0,\ -2\).

\[ \frac{8y-5}{y}=\frac{9y}{y+2} \] \[ (8y-5)(y+2)=9y^2 \] \[ y^2-11y+10=0 \Rightarrow (y-1)(y-10)=0. \]

д)
\[ \frac{x^2+3}{x^2+1}=2 \] Так как \(x^2+1\ne0\): \[ x^2+3=2x^2+2 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm1. \]

е) ОДЗ: \(x\ne0\).

\[ \frac3{x^2+2}=\frac1x \Rightarrow 3x=x^2+2 \] \[ x^2-3x+2=0 \Rightarrow (x-1)(x-2)=0. \]

ж) ОДЗ: \(4x+1\ne0\).

\[ x+2=\frac{15}{4x+1} \] \[ (x+2)(4x+1)=15 \] \[ 4x^2+9x-13=0 \Rightarrow (4x+13)(x-1)=0. \]

з) ОДЗ: \(x\ne1\).

\[ \frac{x^2-5}{x-1}=\frac{7x+10}{9} \] \[ 9(x^2-5)=(7x+10)(x-1) \] \[ 2x^2-3x-35=0 \Rightarrow (2x+7)(x-5)=0. \]

---

4. Иррациональные уравнения

При решении уравнений с корнем после возведения в квадрат обязательно проверяем полученные корни.

а)
\[ \sqrt{x+5}=x-1. \] Так как правая часть неотрицательна, \(x\ge1\).

\[ x+5=(x-1)^2 \Rightarrow x^2-3x-4=0 \] \[ (x-4)(x+1)=0. \] Условию \(x\ge1\) подходит только \(x=4\).

б)
\[ \sqrt{2x-3}=x-2,\qquad x\ge2. \] \[ 2x-3=(x-2)^2 \Rightarrow x^2-6x+7=0 \] \[ x=3\pm\sqrt2. \] Корень \(3-\sqrt2<2\) не подходит, поэтому \[ x=3+\sqrt2. \]

в)
\[ \sqrt{x+6}=x,\qquad x\ge0. \] \[ x+6=x^2 \Rightarrow (x-3)(x+2)=0. \] Подходит только \(x=3\).

г)
\[ \sqrt{x^2-5x+7}=2 \] \[ x^2-5x+7=4 \Rightarrow x^2-5x+3=0. \] \[ x=\frac{5\pm\sqrt{13}}2. \]

д)
\[ \sqrt{2x+3}=x,\qquad x\ge0. \] \[ 2x+3=x^2 \Rightarrow (x-3)(x+1)=0. \] Подходит только \(x=3\).

Проверка: в дробных уравнениях все найденные значения не обращают знаменатели в ноль; в уравнении 3б значение \(y=6\) исключено по ОДЗ. В уравнениях с корнями после подстановки получаются верные равенства.