Реши задание на изображении

Решим все уравнения подробно.

Полезные свойства степеней

1. \[ a^{m+n}=a^m\cdot a^n. \]

2. Если \(a>0\), \(a\ne1\), то: \[ a^m=a^n \Longrightarrow m=n. \]

3. Для любого \(a>0\): \[ a^0=1. \]

Во всех уравнениях основания степеней положительные, поэтому допустимы любые значения \(x\).

---

1. \(\;3^{5-2x}=9\)

Представим число \(9\) как степень числа \(3\):

\[ 9=3^2. \]

Тогда уравнение принимает вид:

\[ 3^{5-2x}=3^2. \]

Основания одинаковые, поэтому приравниваем показатели:

\[ 5-2x=2. \]

Перенесём \(5\) в правую часть:

\[ -2x=2-5, \]

\[ -2x=-3. \]

Разделим на \(-2\):

\[ x=\frac{-3}{-2}=\frac32=1{,}5. \]

Проверка

\[ 3^{5-2\cdot1{,}5}=3^{5-3}=3^2=9. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=1{,}5} \]

---

2. \(\;3^{x+2}+3^x=810\)

Используем свойство степени:

\[ 3^{x+2}=3^x\cdot3^2=9\cdot3^x. \]

Подставим это в уравнение:

\[ 9\cdot3^x+3^x=810. \]

Вынесем \(3^x\) за скобки:

\[ 3^x(9+1)=810. \]

Получаем:

\[ 10\cdot3^x=810. \]

Разделим обе части на \(10\):

\[ 3^x=81. \]

Представим \(81\) как степень числа \(3\):

\[ 81=3^4. \]

Тогда:

\[ 3^x=3^4. \]

Основания одинаковые, значит:

\[ x=4. \]

Проверка

\[ 3^{4+2}+3^4=3^6+3^4=729+81=810. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=4} \]

---

3. \(\;2^x=7^{2x}\)

Преобразуем правую часть:

\[ 7^{2x}=(7^2)^x=49^x. \]

Получаем:

\[ 2^x=49^x. \]

Разделим обе части на \(49^x\). Это можно сделать, потому что \(49^x>0\):

\[ \frac{2^x}{49^x}=1. \]

Используем свойство дроби степеней:

\[ \left(\frac{2}{49}\right)^x=1. \]

Степень положительного основания, не равного \(1\), равна \(1\) только при нулевом показателе:

\[ x=0. \]

Проверка

\[ 2^0=1, \]

\[ 7^{2\cdot0}=7^0=1. \]

Равенство выполняется.

Ответ:

\[ \boxed{x=0} \]

---

4. \(\;0{,}3^{5-2x}=0{,}09\)

Представим \(0{,}09\) как степень числа \(0{,}3\):

\[ 0{,}3^2=0{,}09. \]

Тогда:

\[ 0{,}3^{5-2x}=0{,}3^2. \]

Основания одинаковые, поэтому приравниваем показатели:

\[ 5-2x=2. \]

Решаем полученное линейное уравнение:

\[ -2x=2-5, \]

\[ -2x=-3, \]

\[ x=\frac32=1{,}5. \]

Проверка

\[ 0{,}3^{5-2\cdot1{,}5} =0{,}3^{5-3} =0{,}3^2 =0{,}09. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=1{,}5} \]

---

5. \(\;3^x=8^x\)

Разделим обе части на \(8^x\):

\[ \frac{3^x}{8^x}=1. \]

Объединим степени:

\[ \left(\frac38\right)^x=1. \]

Основание \(\frac38\) положительное и не равно \(1\). Поэтому равенство возможно только при показателе, равном нулю:

\[ x=0. \]

Проверка

\[ 3^0=1, \]

\[ 8^0=1. \]

Следовательно:

\[ 3^0=8^0. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=0} \]

---

6. \(\;3^{2x-1}+3^{2x}=108\)

Представим вторую степень через первую:

\[ 3^{2x}=3^{2x-1+1}=3^{2x-1}\cdot3. \]

Подставим:

\[ 3^{2x-1}+3^{2x-1}\cdot3=108. \]

Вынесем общий множитель \(3^{2x-1}\):

\[ 3^{2x-1}(1+3)=108. \]

Получаем:

\[ 4\cdot3^{2x-1}=108. \]

Разделим обе части на \(4\):

\[ 3^{2x-1}=27. \]

Представим \(27\) как степень числа \(3\):

\[ 27=3^3. \]

Тогда:

\[ 3^{2x-1}=3^3. \]

Приравниваем показатели:

\[ 2x-1=3. \]

Прибавим \(1\) к обеим частям:

\[ 2x=4. \]

Разделим на \(2\):

\[ x=2. \]

Проверка

\[ 3^{2\cdot2-1}+3^{2\cdot2} =3^3+3^4 =27+81 =108. \]

Ответ:

\[ \boxed{x=2} \]

---

Итоговые ответы

\[ \boxed{1)\ x=1{,}5} \]

\[ \boxed{2)\ x=4} \]

\[ \boxed{3)\ x=0} \]

\[ \boxed{4)\ x=1{,}5} \]

\[ \boxed{5)\ x=0} \]

\[ \boxed{6)\ x=2} \]