Реши задание 3
Рассматривая взаимно простые простые числа
Я думаю о простых числах меньше 100, сосредоточившись на том, как они не делят определённые числа. Простых чисел меньше 100 как минимум 25, и я рассматриваю, может ли число, меньшее 1 миллиона, иметь различные простые множители. Я бы предположил, что максимум составляет 7 различных простых множителей, поскольку произведение первых 8 превышает 1 миллион. Поэтому необходимо подтвердить, что действительно существует 25 простых чисел меньше 100. Также я задаюсь вопросом о включении отрицательных целых чисел при рассмотрении трёх чисел.
Размышляя о взаимной простоте
Я рассматриваю понятие взаимной простоты с нулём. Если участвует ноль, никакое число не может быть взаимно простым с ним, поскольку наибольший общий делитель (НОД) любого простого числа p и нуля равен p, а не 1. Поэтому, по-видимому, мне следует ограничить рассмотрение положительными натуральными числами. Я скажу, что это можно сформулировать для трёх натуральных чисел, предполагая, что все они положительны.
У каждого числа \(<1\,000\,000\) не более 7 различных простых делителей, так как
\[
2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19=9\,699\,690>1\,000\,000.
\]
Три числа могут иметь среди простых \(<100\) не более \(3\cdot7=21\) делителя. Простых чисел \(<100\) — 25, значит, найдётся простое \(p\) (\(1<p<100\)), не делящее ни одно из трёх чисел. Следовательно, \[ \gcd(p,a)=\gcd(p,b)=\gcd(p,c)=1. \]
