Реши задание 5
Исследование простых делителей
Я рассматриваю нечётные простые числа, не делящиеся на 3, начиная с правила p ≡ ±1 mod 6, которое приводит к p² ≡ 1 mod 24. Поскольку любое простое число, большее 3, взаимно просто с 6 и нечётно, это верно. Следует проверить делители большего размера, например 120, используя p=5, что подтверждает: НОД равен 24. Похоже, все простые числа > 3 согласуются с этим, подтверждая, что НОД может быть только 24.
Для любого простого \(p>3\): \(p^2-1\) делится на \(8\) и на \(3\), значит, на \(24\).
При \(p=5\): \(5^2-1=24\).
\[ \boxed{\text{НОД}=24} \]
Обсуждение
2 сообщенияДокажи что р в квадрате минус 1 всегда делится на 8 и на 3
Для простого числа \(p>3\):
- Делимость на \(8\).
Число \(p\) нечётное, поэтому \(p-1\) и \(p+1\) — два соседних чётных числа. Одно из них делится на \(4\), а другое — на \(2\). Значит,
\[ p^2-1=(p-1)(p+1)\vdots 4\cdot2=8. \]
- Делимость на \(3\).
Простое \(p>3\) не делится на \(3\), поэтому при делении на \(3\) даёт остаток \(1\) или \(2\):
\[ p^2\equiv1^2\equiv1 \pmod 3 \quad\text{или}\quad p^2\equiv2^2\equiv1 \pmod 3. \]
Следовательно,
\[ p^2-1\vdots3. \]
Итак, \(p^2-1\) делится и на \(8\), и на \(3\), а значит, и на \(24\).
