Неполное частное от деления квадрата нечётного числа на 16 оказалось простым числом. Чему может быть равно это простое число?
\[ \boxed{3,\ 5,\ 7} \]
Для нечётного \(n=8k+r\):
\[ \left\lfloor\frac{n^2}{16}\right\rfloor= \begin{cases} k(4k+1),\\ k(4k+3),\\ (k+1)(4k+1),\\ (k+1)(4k+3). \end{cases} \]
Произведение простое только при одном множителе, равном \(1\): \[ 7^2:16=3,\qquad 9^2:16=5,\qquad 11^2:16=7. \]
Обсуждение
2 сообщенияОбъясни по подробней
Пусть \(n\) — нечётное натуральное число. Нужно найти простое число
\[ q=\left\lfloor \frac{n^2}{16}\right\rfloor, \]
то есть неполное частное при делении \(n^2\) на \(16\).
Любое нечётное число имеет один из видов:
\[ n=8k+1,\quad 8k+3,\quad 8k+5,\quad 8k+7, \]
где \(k\ge 0\).
Рассмотрим все случаи.
1. \(n=8k+1\)
\[ n^2=(8k+1)^2=64k^2+16k+1 =16(4k^2+k)+1. \]
Значит,
\[ q=4k^2+k=k(4k+1). \]
Чтобы произведение было простым, один из множителей должен быть равен \(1\). Это возможно при \(k=1\):
\[ q=1\cdot5=5. \]
Соответствующее число: \(n=9\).
2. \(n=8k+3\)
\[ n^2=(8k+3)^2=64k^2+48k+9 =16(4k^2+3k)+9. \]
Тогда
\[ q=4k^2+3k=k(4k+3). \]
При \(k=1\):
\[ q=1\cdot7=7. \]
Соответствующее число: \(n=11\).
3. \(n=8k+5\)
\[ n^2=(8k+5)^2=64k^2+80k+25 =16(4k^2+5k+1)+9. \]
Поэтому
\[ q=4k^2+5k+1=(k+1)(4k+1). \]
При \(k=0\) получаем \(q=1\), а \(1\) не является простым числом. При \(k\ge1\) оба множителя больше \(1\), значит произведение составное.
Простых значений здесь нет.
4. \(n=8k+7\)
\[ n^2=(8k+7)^2=64k^2+112k+49 =16(4k^2+7k+3)+1. \]
Следовательно,
\[ q=4k^2+7k+3=(k+1)(4k+3). \]
При \(k=0\):
\[ q=1\cdot3=3. \]
Соответствующее число: \(n=7\).
Таким образом, неполное частное может быть равно
\[ \boxed{3,\ 5,\ 7}. \]
