31 и 32 номер

Краткий ответ

№ 31

а) \(\displaystyle \frac{a+4b}{2ab}\)

б) \(\displaystyle \frac{3b-4c}{2b}\)

в) \(\displaystyle \frac23\)

г) \(\displaystyle \frac{5x}{6}\)

д) \(\displaystyle \frac1a\)

е) \(\displaystyle 3x\)

№ 32

а) \(\displaystyle \frac{y-4}{3}\)

б) \(\displaystyle \frac{5}{x+3y}\)

в) \(\displaystyle \frac{c+2}{7c}\)

г) \(\displaystyle \frac{6c}{d-3}\)

д) \(\displaystyle \frac{a+5}{a-5}\)

е) \(\displaystyle \frac{y+3}{y-3}\)

Решение

Главное правило: сокращают только одинаковые множители, а не отдельные слагаемые.

№ 31

а) \[ \frac{3a+12b}{6ab} =\frac{3(a+4b)}{6ab} =\frac{a+4b}{2ab}. \]

б) \[ \frac{15b-20c}{10b} =\frac{5(3b-4c)}{10b} =\frac{3b-4c}{2b}. \]

в) \[ \frac{2a-4}{3(a-2)} =\frac{2(a-2)}{3(a-2)} =\frac23. \]

г) \[ \frac{5x(y+2)}{6y+12} =\frac{5x(y+2)}{6(y+2)} =\frac{5x}{6}. \]

д) \[ \frac{a-3b}{a^2-3ab} =\frac{a-3b}{a(a-3b)} =\frac1a. \]

е) \[ \frac{3x^2+15xy}{x+5y} =\frac{3x(x+5y)}{x+5y} =3x. \]

№ 32

а) Используем разность квадратов: \[ y^2-16=(y-4)(y+4). \] Тогда \[ \frac{y^2-16}{3y+12} =\frac{(y-4)(y+4)}{3(y+4)} =\frac{y-4}{3}. \]

б) \[ \frac{5x-15y}{x^2-9y^2} =\frac{5(x-3y)}{(x-3y)(x+3y)} =\frac5{x+3y}. \]

в) \[ \frac{(c+2)^2}{7c^2+14c} =\frac{(c+2)^2}{7c(c+2)} =\frac{c+2}{7c}. \]

г) \[ \frac{6cd-18c}{(d-3)^2} =\frac{6c(d-3)}{(d-3)^2} =\frac{6c}{d-3}. \]

д) \[ a^2+10a+25=(a+5)^2,\qquad a^2-25=(a-5)(a+5). \] Поэтому \[ \frac{a^2+10a+25}{a^2-25} =\frac{(a+5)^2}{(a-5)(a+5)} =\frac{a+5}{a-5}. \]

е) \[ \frac{y^2-9}{y^2-6y+9} =\frac{(y-3)(y+3)}{(y-3)^2} =\frac{y+3}{y-3}. \]

Ограничения

Нельзя забывать значения, при которых исходный знаменатель равен нулю:

• №31: \(a\ne0,\ b\ne0,\ a\ne2,\ y\ne-2,\ a\ne3b,\ x+5y\ne0\);
• №32: \(y\ne-4,\ x\ne\pm3y,\ c\ne0,\ c\ne-2,\ d\ne3,\ a\ne\pm5,\ y\ne3\).

Проверка, например, для №32а: \[ \frac{y-4}{3}\cdot\frac{y+4}{y+4} =\frac{y^2-16}{3(y+4)} =\frac{y^2-16}{3y+12}, \] то есть исходная дробь восстановилась.