как Определить область значение область определения Нули функции Промежутки в которых функция принимает значение одного и того же знака Промежутки в которых функция возрастает или…

Кратко

Если дана формула, то:

• Область определения \(D(f)\) — допустимые значения \(x\).
• Область значений \(E(f)\) — все значения \(y=f(x)\).
• Нули функции — решения уравнения \(f(x)=0\).
• Промежутки знакопостоянства — где \(f(x)>0\) или \(f(x)<0\).
• Возрастание и убывание — как меняется функция при увеличении \(x\).
• Наибольшее и наименьшее значения — самая большая и самая маленькая высота графика.

Если дан график, почти всё определяется чтением слева направо.

Как определить по графику

1. Область определения — проекция графика на ось \(Ox\): какие \(x\) встречаются.
2. Область значений — проекция графика на ось \(Oy\): какие \(y\) встречаются.
3. Нули функции — точки пересечения графика с осью \(Ox\). Записывают именно их \(x\)-координаты.
4. Положительный знак: \[ f(x)>0 \] там, где график выше оси \(Ox\).
5. Отрицательный знак: \[ f(x)<0 \] там, где график ниже оси \(Ox\).
6. Возрастание — график идёт вверх слева направо.
7. Убывание — график идёт вниз слева направо.
8. Наибольшее значение — самая высокая точка графика по \(Oy\).
9. Наименьшее значение — самая низкая точка графика по \(Oy\).

Точки, где \(f(x)=0\), не входят в промежутки положительного или отрицательного знака.

Если дана формула

• В знаменателе нельзя допускать ноль: \[ \frac{1}{x-3}\quad\Rightarrow\quad x\ne3. \]
• Подкоренное выражение чётного корня должно быть неотрицательным: \[ \sqrt{x-2}\quad\Rightarrow\quad x\ge2. \]
• Аргумент логарифма должен быть положительным: \[ \log(x+1)\quad\Rightarrow\quad x>-1. \]
• Для возрастания и убывания используют производную: \[ f'(x)>0 — \text{функция возрастает}, \] \[ f'(x)<0 — \text{функция убывает}. \]

Пример

Пусть

\[ f(x)=x^2-4. \]

1. Область определения

Это многочлен, поэтому можно брать любое \(x\):

\[ D(f)=\mathbb R. \]

2. Область значений

Так как \(x^2\ge0\), то

\[ x^2-4\ge-4. \]

Следовательно,

\[ E(f)=[-4;+\infty). \]

3. Нули функции

Решаем:

\[ x^2-4=0, \]

\[ (x-2)(x+2)=0. \]

Получаем:

\[ x_1=-2,\qquad x_2=2. \]

4. Знак функции

\[ f(x)>0 \text{ на }(-\infty;-2)\cup(2;+\infty), \]

\[ f(x)<0 \text{ на }(-2;2). \]

5. Возрастание и убывание

\[ f'(x)=2x. \]

• при \(x<0\): \(f'(x)<0\), функция убывает;
• при \(x>0\): \(f'(x)>0\), функция возрастает.

Значит,

\[ \text{убывает на }(-\infty;0), \]

\[ \text{возрастает на }(0;+\infty). \]

6. Наименьшее и наибольшее значения

В вершине при \(x=0\):

\[ f(0)=0^2-4=-4. \]

Наименьшее значение:

\[ \boxed{-4}. \]

Наибольшего значения нет, потому что функция неограниченно возрастает.