Пиши решение и ответ

Краткие ответы

• № 310: \(X,Y\in\{0,1,\ldots,N\}\), причём \(X+Y=N\), поэтому \(Y=N-X\).
• № 311: более вероятно значение \(I=0\), то есть первый успех наступит на нечётном испытании.
• № 312: \(X\in\{3,4,5\}\).
• № 313: \(X\in\{6,7,8,\ldots\}\).
• № 314:

\[ \begin{array}{c|c} K & P(K)\\ \hline 1 & \frac{1}{216}\\ 2 & \frac{35}{216}\\ 3 & \frac{5}{9}\\ 4 & \frac{5}{18} \end{array} \]

• № 315: \(X\in\{0,1,\ldots,75\}\), наиболее вероятно \(X=1\).

---

Решение

№ 310

В каждом испытании возможен либо успех, либо неудача. Всего испытаний \(N\).

Число успехов может быть любым от \(0\) до \(N\):

\[ X\in\{0,1,2,\ldots,N\}. \]

То же самое относится к числу неудач:

\[ Y\in\{0,1,2,\ldots,N\}. \]

Так как каждое испытание заканчивается успехом или неудачей,

\[ X+Y=N. \]

Отсюда:

\[ \boxed{Y=N-X},\qquad \boxed{X=N-Y}. \]

---

№ 311

Пусть вероятность успеха равна \(p\), а вероятность неудачи

\[ q=1-p. \]

Первый успех наступит на нечётном испытании, если он произойдёт на \(1\)-м, \(3\)-м, \(5\)-м и так далее:

\[ P(I=0)=p+q^2p+q^4p+\ldots =\frac{p}{1-q^2} =\frac{1}{1+q}. \]

Первый успех наступит на чётном испытании, если он произойдёт на \(2\)-м, \(4\)-м, \(6\)-м и так далее:

\[ P(I=1)=qp+q^3p+q^5p+\ldots =\frac{qp}{1-q^2} =\frac{q}{1+q}. \]

Так как \(q<1\), то

\[ \frac{1}{1+q}>\frac{q}{1+q}. \]

Следовательно,

\[ \boxed{I=0\text{ более вероятно}}. \]

То есть первый успех скорее наступит на нечётном испытании.

---

№ 312

Одна команда должна выиграть три партии.

• Если она выиграла со счётом \(3:0\), матч состоял из \(3\) партий.
• При счёте \(3:1\) — из \(4\) партий.
• При счёте \(3:2\) — из \(5\) партий.

Поэтому

\[ \boxed{X\in\{3,4,5\}}. \]

---

№ 313

Один из шахматистов должен одержать шесть побед.

Минимальное число партий — \(6\), если один игрок выиграет первые шесть партий.

Из-за ничьих матч может продолжаться сколь угодно долго. Поэтому верхней границы нет:

\[ \boxed{X\in\{6,7,8,\ldots\}}. \]

---

№ 314

Всего при бросании четырёх кубиков возможно

\[ 6^4=1296 \]

равновероятных исходов.

\(K=1\)

Все четыре кубика показывают одно и то же число:

\[ 6 \]

исходов. Поэтому

\[ P(K=1)=\frac{6}{1296}=\boxed{\frac1{216}}. \]

\(K=2\)

Выбираем два различных числа:

\[ \binom62=15. \]

Для выбранных чисел существует

\[ 2^4-2=14 \]

способов, чтобы оба числа встретились хотя бы один раз. Тогда

\[ P(K=2)=\frac{15\cdot14}{1296} =\boxed{\frac{35}{216}}. \]

\(K=3\)

Выбираем три числа:

\[ \binom63=20. \]

Число способов использовать все три числа:

\[ 3^4-3\cdot2^4+3=36. \]

Значит,

\[ P(K=3)=\frac{20\cdot36}{1296} =\boxed{\frac59}. \]

\(K=4\)

Выбираем четыре числа и размещаем их по одному на каждом кубике:

\[ \binom64\cdot4!=15\cdot24=360. \]

Тогда

\[ P(K=4)=\frac{360}{1296} =\boxed{\frac5{18}}. \]

Проверка:

\[ \frac1{216}+\frac{35}{216}+\frac59+\frac5{18}=1. \]

---

№ 315

Считаем, что в самолёте находятся \(150\) пассажиров и их выборы независимы.

Пусть \(A\) — число пассажиров, выбравших обед с курицей. Тогда обед с курицей выберут от \(0\) до \(150\) пассажиров.

На борту есть \(75\) обедов каждого вида.

Если курицу выбрали \(75+k\) пассажиров, то \(k\) пассажиров останутся без куриного обеда. Если курицу выбрали \(75-k\) пассажиров, то \(k\) пассажиров останутся без рыбного обеда.

Поэтому

\[ X=|A-75|. \]

Следовательно,

\[ \boxed{X\in\{0,1,2,\ldots,75\}}. \]

Для \(k\geq1\):

\[ P(X=k)= \frac{2\binom{150}{75+k}}{2^{150}}, \]

а

\[ P(X=0)=\frac{\binom{150}{75}}{2^{150}}. \]

Вероятность \(X=k\) при \(k\geq1\) наибольшая при \(k=1\). Сравним её с вероятностью \(X=0\):

\[ \frac{P(X=1)}{P(X=0)} = \frac{2\binom{150}{76}}{\binom{150}{75}} = 2\cdot\frac{75}{76} = \frac{75}{38}>1. \]

Значит, наиболее вероятно, что неудовлетворённым останется один пассажир:

\[ \boxed{X=1}. \]