Реши задание на изображении

Краткие ответы

Первое фото — проценты

1. \(7{,}2\) т сахара.
2. \(9{,}1\) т железа.
3. \(800\) лампочек.
4. \(1750\) кг лука.
5. \(40\) деталей.
6. \(3000\) руб.
7. \(4\) человека.
8. Через год — \(5400\) руб.; через 2 года — \(5832\) руб.; через 5 лет — примерно \(7346{,}64\) руб.

Второе фото — прогрессии

1. \(c_{41}=140\).
2. \(a_{10}=-\dfrac{35}{3}\), \(\displaystyle a_n=\dfrac{5-4n}{3}\).
3. \(S_{60}=1800\).
4. \(S_9=63\).
5. \(x_7=\dfrac14\).
6. \(S_5=\dfrac{31}{2}=15{,}5\).
7. \(q=\dfrac15\), прогрессия бесконечно убывающая.
8. \(S_\infty=\dfrac1{12}\).

---

Первое фото

1

Сахар составляет \(18\%\) от массы свёклы:

\[ 40\cdot \frac{18}{100}=7{,}2\text{ т}. \]

Ответ: \(7{,}2\) т.

2

\[ 13\cdot \frac{70}{100}=9{,}1\text{ т}. \]

Ответ: \(9{,}1\) т железа.

3

Пусть всего привезли \(x\) лампочек. Тогда:

\[ 2\%\text{ от }x=16, \qquad 0{,}02x=16. \]

\[ x=\frac{16}{0{,}02}=800. \]

Ответ: 800 лампочек.

4

Продали \(30\%\), значит осталось:

\[ 100\%-30\%=70\%. \]

\[ 2500\cdot \frac{70}{100}=1750\text{ кг}. \]

Ответ: \(1750\) кг.

5

24 детали — это \(60\%\) нормы:

\[ 0{,}6x=24, \qquad x=\frac{24}{0{,}6}=40. \]

Ответ: 40 деталей.

6

После повышения цена составила \(116\%\) первоначальной:

\[ 1{,}16x=3480. \]

\[ x=\frac{3480}{1{,}16}=3000. \]

Проверка:

\[ 3000\cdot 1{,}16=3480. \]

Ответ: 3000 рублей.

7

Мало задач решили:

\[ 50\cdot 0{,}68=34\text{ человека}. \]

Осталось:

\[ 50-34=16\text{ человек}. \]

Среднее количество задач решили:

\[ 16\cdot 0{,}75=12\text{ человек}. \]

Много задач решили остальные:

\[ 16-12=4. \]

Ответ: 4 человека.

8

Так как проценты не снимаются со счёта, каждый год сумма умножается на \(1{,}08\):

\[ A_n=5000\cdot 1{,}08^n. \]

Через год:

\[ A_1=5000\cdot 1{,}08=5400\text{ руб.} \]

Через два года:

\[ A_2=5000\cdot 1{,}08^2=5832\text{ руб.} \]

Через пять лет:

\[ A_5=5000\cdot 1{,}08^5\approx 7346{,}64\text{ руб.} \]

---

Второе фото

1

Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии:

\[ c_n=c_1+(n-1)d. \]

\[ c_{41}=20+(41-1)\cdot 3 =20+120=140. \]

Ответ: \(c_{41}=140\).

2

Разность прогрессии:

\[ d=-1-\frac13=-\frac43. \]

Десятый член:

\[ a_{10}=a_1+9d =\frac13+9\cdot\left(-\frac43\right) =-\frac{35}{3}. \]

\(n\)-й член:

\[ a_n=a_1+(n-1)d =\frac13-\frac43(n-1) =\frac{5-4n}{3}. \]

Ответ:

\[ a_{10}=-\frac{35}{3},\qquad a_n=\frac{5-4n}{3}. \]

3

Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[ S_n=\frac{n(a_1+a_n)}2. \]

\[ S_{60}=\frac{60(3+57)}2 =30\cdot 60=1800. \]

Ответ: \(1800\).

4

Сначала найдём девятый член:

\[ b_9=b_1+8d=-17+8\cdot 6=31. \]

Тогда:

\[ S_9=\frac{9(b_1+b_9)}2 =\frac{9(-17+31)}2 =\frac{9\cdot14}{2}=63. \]

Ответ: \(63\).

5

Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:

\[ x_n=x_1q^{n-1}. \]

\[ x_7=16\left(\frac12\right)^6 =16\cdot\frac1{64} =\frac14. \]

Ответ: \(x_7=\dfrac14\).

6

Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии:

\[ S_n=b_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}. \]

\[ S_5=8\cdot\frac{1-\left(\frac12\right)^5}{1-\frac12} =8\cdot\frac{1-\frac1{32}}{\frac12} =8\cdot\frac{31}{32}\cdot2 =\frac{31}{2}=15{,}5. \]

Ответ: \(15{,}5\).

7

Для последовательности

\[ 1;\ \frac15;\ \frac1{25};\ldots \]

знаменатель:

\[ q=\frac{1/5}{1}=\frac15. \]

Так как

\[ 0<q<1, \]

каждый следующий член положительный и меньше предыдущего:

\[ 1>\frac15>\frac1{25}>\ldots \]

Следовательно, прогрессия является бесконечно убывающей.

8

Для бесконечной геометрической прогрессии:

\[ S_\infty=\frac{b_1}{1-q}, \qquad |q|<1. \]

Здесь \(|q|=\frac12<1\), поэтому формула применима:

\[ S_\infty= \frac{\frac18}{1-\left(-\frac12\right)} = \frac{\frac18}{\frac32} = \frac1{12}. \]

Ответ: \(\dfrac1{12}\).