Номер 471

Краткий ответ: в обоих случаях \(ABCD\) — параллелограмм.

а)

Диагональ \(AC\) является секущей.

1. \(\angle BAC=\angle ACD\) — это накрест лежащие углы для прямых \(AB\) и \(CD\). Значит, \[ AB\parallel CD. \]

2. \(\angle BCA=\angle DAC\) — накрест лежащие углы для прямых \(BC\) и \(AD\). Значит, \[ BC\parallel AD. \]

У четырёхугольника обе пары противоположных сторон параллельны, поэтому \(ABCD\) — параллелограмм.

б)

Дано: \[ AB\parallel CD,\qquad \angle A=\angle C. \]

Так как \(AB\parallel CD\), то суммы односторонних внутренних углов равны \(180^\circ\): \[ \angle A+\angle D=180^\circ, \] \[ \angle B+\angle C=180^\circ. \]

Поскольку \(\angle A=\angle C\), из этих равенств следует: \[ \angle D=\angle B. \]

Тогда \[ \angle A+\angle B=\angle A+\angle D=180^\circ. \]

Углы \(\angle A\) и \(\angle B\) — односторонние внутренние углы при прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\). Их сумма \(180^\circ\), значит, \[ AD\parallel BC. \]

Итак, \(AB\parallel CD\) и \(AD\parallel BC\), следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм.

Принцип: чтобы доказать, что четырёхугольник является параллелограммом, достаточно доказать параллельность обеих пар его противоположных сторон.