реши все задачи

Краткие ответы

1. \(47\,088\) человек.
2. \(20\%\).
3. \(15\%\).
4. \(27\%\).
5. \(11\%\) в год.
6. \(530\,000\) рублей.
7. \(5\%\).
8. \(17\%\).
9. \(21\%\).
10. \(190\) кг.
11. \(100\) кг.
12. \(9\) кг.

Решение

1. Рост числа жителей

После увеличения на \(8\%\):

\[ 40000\cdot 1{,}08=43200. \]

После увеличения ещё на \(9\%\):

\[ 43200\cdot 1{,}09=47088. \]

Ответ: \(47\,088\) человек.

---

2. Изменение стоимости акций

Пусть акции подорожали на \(x\) процентов, записываем \(x\) как долю.

После подорожания и последующего удешевления:

\[ (1+x)(1-x)=0{,}96. \]

\[ 1-x^2=0{,}96, \qquad x^2=0{,}04, \qquad x=0{,}2. \]

\[ 0{,}2=20\%. \]

Проверка:

\[ 1{,}2\cdot0{,}8=0{,}96, \]

то есть цена стала \(96\%\) от первоначальной.

Ответ: \(20\%\).

---

3. Стоимость рубашек и куртки

Пусть куртка стоит \(100\%\). Тогда четыре рубашки стоят:

\[ 100\%-8\%=92\%. \]

Одна рубашка стоит:

\[ 92\%:4=23\%. \]

Пять рубашек стоят:

\[ 23\%\cdot5=115\%. \]

Значит, пять рубашек дороже куртки на:

\[ 115\%-100\%=15\%. \]

Ответ: \(15\%\).

---

4. Доход семьи

Пусть общий доход семьи равен \(100\%\).

Если зарплата мужа увеличилась вдвое, прирост равен его первоначальной зарплате. Значит, зарплата мужа составляет:

\[ 67\%. \]

Стипендия дочери уменьшилась втрое, то есть стала равна одной трети первоначальной. Уменьшение составило:

\[ 1-\frac13=\frac23. \]

Это уменьшение равно \(4\%\) общего дохода:

\[ \frac23D=4\%, \qquad D=4\%\cdot\frac32=6\%. \]

Тогда зарплата жены:

\[ 100\%-67\%-6\%=27\%. \]

Проверка:

\[ 67\%+27\%+6\%=100\%. \]

Ответ: \(27\%\).

---

5. Ежегодное уменьшение цены

Пусть ежегодно цена умножается на \(1-x\), где \(x\) — доля уменьшения.

За два года:

\[ 20000(1-x)^2=15842. \]

\[ (1-x)^2=\frac{15842}{20000}=0{,}7921. \]

Так как

\[ 0{,}7921=0{,}89^2, \]

то

\[ 1-x=0{,}89, \qquad x=0{,}11=11\%. \]

Проверка:

\[ 20000\cdot0{,}89^2=15842. \]

Ответ: \(11\%\) каждый год.

---

6. Доля Бориса в прибыли

Вклад Мити:

\[ 200000\cdot0{,}14=28000\text{ руб.} \]

Вклад Гоши:

\[ 200000\cdot0{,}12=24000\text{ руб.} \]

Вклад Бориса:

\[ 200000-28000-42000-24000=106000\text{ руб.} \]

Доля Бориса:

\[ \frac{106000}{200000}=0{,}53. \]

Его часть прибыли:

\[ 1000000\cdot0{,}53=530000\text{ руб.} \]

Ответ: \(530\,000\) рублей.

---

7. Разбавление раствора водой

Количество вещества в исходном растворе:

\[ 5\cdot0{,}12=0{,}6\text{ л}. \]

После добавления воды общий объём:

\[ 5+7=12\text{ л}. \]

Концентрация:

\[ \frac{0{,}6}{12}=0{,}05=5\%. \]

Ответ: \(5\%\).

---

8. Смешивание равных количеств растворов

При смешивании равных количеств растворов концентрация равна среднему арифметическому:

\[ \frac{15\%+19\%}{2}=17\%. \]

Ответ: \(17\%\).

---

9. Смешивание двух растворов

Количество вещества в первом растворе:

\[ 4\cdot0{,}15=0{,}6\text{ л}. \]

Во втором растворе:

\[ 6\cdot0{,}25=1{,}5\text{ л}. \]

Всего вещества:

\[ 0{,}6+1{,}5=2{,}1\text{ л}. \]

Общий объём раствора:

\[ 4+6=10\text{ л}. \]

Концентрация:

\[ \frac{2{,}1}{10}=0{,}21=21\%. \]

Ответ: \(21\%\).

---

10. Получение изюма из винограда

В винограде содержится \(10\%\) сухого вещества:

\[ 100\%-90\%=10\%. \]

В \(20\) кг изюма содержится \(95\%\) сухого вещества:

\[ 20\cdot0{,}95=19\text{ кг}. \]

Столько же сухого вещества было в винограде. Пусть масса винограда — \(x\) кг:

\[ 0{,}1x=19, \qquad x=190. \]

Ответ: \(190\) кг.

---

11. Массы двух сплавов

Пусть масса первого сплава — \(x\) кг, второго — \(y\) кг.

Общая масса:

\[ x+y=200. \]

Количество никеля:

\[ 0{,}1x+0{,}3y=200\cdot0{,}25=50. \]

Из первого уравнения \(x=200-y\). Подставим:

\[ 0{,}1(200-y)+0{,}3y=50, \]

\[ 20-0{,}1y+0{,}3y=50, \]

\[ 0{,}2y=30, \qquad y=150. \]

Тогда

\[ x=200-150=50. \]

Разность масс:

\[ 150-50=100\text{ кг}. \]

Ответ: \(100\) кг.

---

12. Масса третьего сплава

Пусть масса первого сплава — \(x\) кг. Тогда масса второго:

\[ x+3\text{ кг}. \]

Количество меди в полученном сплаве:

\[ 0{,}1x+0{,}4(x+3). \]

Общая масса:

\[ x+(x+3)=2x+3. \]

По условию концентрация меди равна \(30\%\):

\[ 0{,}1x+0{,}4(x+3)=0{,}3(2x+3). \]

Раскроем скобки:

\[ 0{,}5x+1{,}2=0{,}6x+0{,}9, \]

\[ 0{,}3=0{,}1x, \qquad x=3. \]

Масса второго сплава:

\[ 3+3=6\text{ кг}. \]

Масса третьего сплава:

\[ 3+6=9\text{ кг}. \]

Проверка:

\[ 0{,}1\cdot3+0{,}4\cdot6=2{,}7\text{ кг меди}, \]

а

\[ 0{,}3\cdot9=2{,}7\text{ кг}. \]

Ответ: \(9\) кг.