Реши задание на изображении
Анализ заданий упражнения
Я рассматриваю запрос пользователя по изображению задания на русском языке, которое, по-видимому, связано с упражнением 67, состоящим из двух частей. Думаю, мне нужно кратко ответить на обе части — 67.1 и 67.2, обязательно проверив ограничения области допустимых значений.
Для первой части нужно упростить рациональные выражения и найти общий знаменатель, а для второй — снова выполнить упрощение с необходимыми проверками, чтобы убедиться в отсутствии сокращений. Похоже, пользователь прежде всего просит помочь с упражнением 67.
Структурирование решения
Мне нужно начать с краткого ответа, а затем привести основные шаги упрощения рациональных выражений. Можно объяснить принцип нахождения общего знаменателя и проверить результаты обратным раскрытием скобок. Важно указать унаследованные ограничения.
Для первой части я проверю, правильно ли раскладывается \((5a+6)/(a+2)^2\). Да, правильно! Для второй части выражение \(13a+4\), по-видимому, также раскладывается корректно. В конце я предложу дальнейшие шаги на русском языке, сохраняя краткость и релевантность.
Краткий ответ:
\(\displaystyle \frac{3}{a+2}+\frac{2a}{(a+2)^2} =\frac{5a+6}{(a+2)^2}\), \(a\ne -2\).
\(\displaystyle \frac{a}{(3a+1)^2}+\frac{4}{3a+1} =\frac{13a+4}{(3a+1)^2}\), \(a\ne-\frac13\).
1)
Общий знаменатель — \((a+2)^2\):
\[ \frac{3}{a+2} =\frac{3(a+2)}{(a+2)^2}. \]
Тогда
\[ \frac{3}{a+2}+\frac{2a}{(a+2)^2} = \frac{3(a+2)+2a}{(a+2)^2} = \frac{3a+6+2a}{(a+2)^2} = \frac{5a+6}{(a+2)^2}. \]
Ограничение:
\[ a+2\ne0 \quad\Rightarrow\quad a\ne-2. \]
2)
Общий знаменатель — \((3a+1)^2\):
\[ \frac{4}{3a+1} =\frac{4(3a+1)}{(3a+1)^2}. \]
Тогда
\[ \frac{a}{(3a+1)^2}+\frac{4}{3a+1} = \frac{a+4(3a+1)}{(3a+1)^2} = \frac{a+12a+4}{(3a+1)^2} = \frac{13a+4}{(3a+1)^2}. \]
Ограничение:
\[ 3a+1\ne0 \quad\Rightarrow\quad a\ne-\frac13. \]
Проверка: при обратном разложении числителей получаем
\(5a+6=3(a+2)+2a\) и \(13a+4=a+4(3a+1)\), значит преобразования выполнены верно.
