Реши все задачи
Краткие ответы
- \(47\,088\) человек.
- \(20\%\).
- \(15\%\).
- \(27\%\).
- \(11\%\).
- \(530\,000\) рублей.
- \(5\%\).
- \(17\%\).
- \(21\%\).
- \(190\) кг винограда.
- \(100\) кг.
- \(9\) кг.
Решение
1. Число жителей
После первого увеличения:
\[ 40000\cdot 1{,}08=43200. \]
После увеличения на \(9\%\):
\[ 43200\cdot 1{,}09=47088. \]
Ответ: \(47\,088\) человек.
2. Изменение стоимости акций
Пусть акции подорожали на \(x\%\), тогда \(x\) в виде десятичной дроби.
После подорожания и последующего удешевления:
\[ (1+x)(1-x)=0{,}96. \]
\[ 1-x^2=0{,}96, \]
\[ x^2=0{,}04,\qquad x=0{,}2. \]
\[ 0{,}2=20\%. \]
Ответ: \(20\%\).
Проверка:
\[ 1{,}2\cdot 0{,}8=0{,}96, \]
то есть цена стала \(96\%\) первоначальной.
3. Стоимость рубашек и куртки
Пусть куртка стоит \(100\%\). Тогда четыре рубашки стоят:
\[ 100\%-8\%=92\%. \]
Одна рубашка стоит:
\[ 92\%:4=23\%. \]
Пять рубашек стоят:
\[ 23\%\cdot 5=115\%. \]
Значит, пять рубашек дороже куртки на:
\[ 115\%-100\%=15\%. \]
Ответ: \(15\%\).
4. Доход семьи
Пусть весь доход семьи равен \(100\%\).
Если зарплата мужа увеличилась вдвое, доход вырос на \(67\%\). Значит, зарплата мужа составляет \(67\%\) общего дохода.
Стипендия дочери уменьшилась втрое, то есть уменьшилась на две трети. Это уменьшение составляет \(4\%\) общего дохода:
\[ \frac{2}{3}D=4\%. \]
Тогда стипендия дочери:
\[ D=4\%\cdot \frac{3}{2}=6\%. \]
Зарплата жены:
\[ 100\%-67\%-6\%=27\%. \]
Ответ: \(27\%\).
5. Ежегодное уменьшение цены холодильника
Пусть ежегодно цена уменьшается на \(x\). Тогда:
\[ 20000(1-x)^2=15842. \]
Делим на \(20000\):
\[ (1-x)^2=0{,}7921. \]
Так как
\[ 0{,}89^2=0{,}7921, \]
то
\[ 1-x=0{,}89, \qquad x=0{,}11. \]
\[ 0{,}11=11\%. \]
Ответ: \(11\%\).
Проверка:
\[ 20000\cdot 0{,}89^2=15842. \]
6. Прибыль учредителей
Уставный капитал — \(200\,000\) рублей.
Вклады:
\[ \text{Митя}=200000\cdot 14\%=28000, \]
\[ \text{Антон}=42000, \]
\[ \text{Гоша}=200000\cdot 12\%=24000. \]
Вклад Бориса:
\[ 200000-28000-42000-24000=106000. \]
Доля Бориса:
\[ \frac{106000}{200000}=0{,}53. \]
Его часть прибыли:
\[ 1000000\cdot 0{,}53=530000. \]
Ответ: \(530\,000\) рублей.
7. Раствор и вода
Количество вещества в исходном растворе:
\[ 5\cdot 12\%=0{,}6\text{ л}. \]
После добавления воды общий объём:
\[ 5+7=12\text{ л}. \]
Концентрация:
\[ \frac{0{,}6}{12}\cdot 100\%=5\%. \]
Ответ: \(5\%\).
8. Смешивание равных количеств растворов
Если количества растворов одинаковы, концентрация смеси равна среднему арифметическому:
\[ \frac{15\%+19\%}{2}=17\%. \]
Ответ: \(17\%\).
9. Смешивание растворов
Количество вещества в первом растворе:
\[ 4\cdot 15\%=0{,}6\text{ л}. \]
Во втором:
\[ 6\cdot 25\%=1{,}5\text{ л}. \]
Всего вещества:
\[ 0{,}6+1{,}5=2{,}1\text{ л}. \]
Общий объём раствора:
\[ 4+6=10\text{ л}. \]
Концентрация:
\[ \frac{2{,}1}{10}\cdot100\%=21\%. \]
Ответ: \(21\%\).
10. Получение изюма из винограда
В винограде \(90\%\) влаги, значит, сухого вещества:
\[ 100\%-90\%=10\%. \]
В \(20\) кг изюма сухого вещества:
\[ 20\cdot 95\%=19\text{ кг}. \]
Это количество сухого вещества было в винограде. Пусть масса винограда \(x\) кг:
\[ 10\%x=19. \]
\[ x=\frac{19}{0{,}1}=190. \]
Ответ: \(190\) кг.
11. Два сплава с никелем
Пусть масса первого сплава — \(x\) кг, второго — \(y\) кг.
\[ x+y=200. \]
Количество никеля в готовом сплаве:
\[ 200\cdot25\%=50\text{ кг}. \]
Составим уравнение:
\[ 0{,}1x+0{,}3y=50. \]
Из первого уравнения:
\[ y=200-x. \]
Подставим:
\[ 0{,}1x+0{,}3(200-x)=50, \]
\[ 0{,}1x+60-0{,}3x=50, \]
\[ 0{,}2x=10, \qquad x=50. \]
Тогда:
\[ y=200-50=150. \]
Разность масс:
\[ 150-50=100\text{ кг}. \]
Ответ: \(100\) кг.
12. Два сплава с медью
Пусть масса первого сплава — \(x\) кг. Тогда масса второго:
\[ x+3\text{ кг}. \]
Количество меди в смеси:
\[ 0{,}1x+0{,}4(x+3). \]
Общая масса смеси:
\[ x+(x+3)=2x+3. \]
По условию концентрация меди \(30\%\):
\[ 0{,}1x+0{,}4(x+3)=0{,}3(2x+3). \]
Раскроем скобки:
\[ 0{,}1x+0{,}4x+1{,}2=0{,}6x+0{,}9, \]
\[ 0{,}5x+1{,}2=0{,}6x+0{,}9, \]
\[ 0{,}3=0{,}1x, \qquad x=3. \]
Масса второго сплава:
\[ 3+3=6\text{ кг}. \]
Масса третьего сплава:
\[ 3+6=9\text{ кг}. \]
Ответ: \(9\) кг.
