Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. \(S=1290\) кв. ед.
2. \(\tg\angle B=\dfrac{5}{12}\).
3. \(TP=\dfrac{140}{3}=46\dfrac{2}{3}\).
4. \(\angle ABO=21^\circ\).
5. Верные утверждения: 5, 7, 10.

Решение

1. Основание треугольника:

\[ a=32+11=43. \]

Высота равна \(60\). Тогда

\[ S=\frac12 ah=\frac12\cdot43\cdot60=1290. \]

2. Так как \(\angle C=90^\circ\), \(AB\) — гипотенуза:

\[ AC=\sqrt{AB^2-BC^2} =\sqrt{13^2-12^2} =\sqrt{169-144}=5. \]

Для угла \(B\):

\[ \tg B=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} =\frac{AC}{BC}=\frac{5}{12}. \]

3. Так как \(MN\parallel KP\), треугольники \(TMN\) и \(TKP\) подобны:

\[ \frac{MN}{KP}=\frac{TN}{TP}. \]

Подставим данные:

\[ \frac{12}{35}=\frac{16}{TP}. \]

\[ 12TP=35\cdot16, \qquad TP=\frac{560}{12}=\frac{140}{3}=46\dfrac23. \]

4. Радиусы перпендикулярны касательным:

\[ OA\perp AC,\qquad OB\perp BC. \]

В четырёхугольнике \(AOCB\):

\[ \angle AOB=360^\circ-90^\circ-90^\circ-42^\circ=138^\circ. \]

Треугольник \(AOB\) равнобедренный, так как \(OA=OB\). Поэтому

\[ \angle ABO=\frac{180^\circ-138^\circ}{2}=21^\circ. \]

5. Проверка утверждений

1. Неверно: центр описанной окружности может находиться вне тупоугольного треугольника.
2. Неверно: радиус и касательная перпендикулярны.
3. Неверно: в общем случае диагонали параллелограмма не равны.
4. Неверно: площадь параллелограмма не всегда равна половине произведения диагоналей.
5. Верно: диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
6. Неверно: у равнобедренной трапеции равны боковые стороны, а не основания.
7. Верно: в любой ромб можно вписать окружность.
8. Неверно: равнобедренные треугольники могут иметь разные углы.
9. Неверно:

\[ S_{\text{прямоугольного треугольника}} =\frac12 ab. \]

10. Верно: расстояние от точки окружности до её центра равно радиусу.