Реши

Краткие ответы

1.1 — C) одну
1.2 — C) \(EF\)
1.3 — D) \(BM\)
1.4 — A) \(12\sqrt3\) см
1.5 — A) \(17\) см
1.6 — \(2\) см, если в конце также должна быть точка \(D\)
1.7 — A) \((10;\,-6;\,-1)\)
1.8 — A и C
2.1 — \(8\sqrt2\text{ см}^2\)
2.2 — \(\alpha=\arccos\dfrac1{\sqrt3}\approx54{,}7^\circ\)
2.3а — \(x^2+y^2+z^2=25\)
2.3б — \(O(1;\,-2;\,3)\), \(R=4\)

Решение

1.1

Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести ровно одну плоскость.

---

1.2

В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны:

\[ BC\parallel EF. \]

Так как \(B_1C_1\parallel BC\), то

\[ B_1C_1\parallel EF. \]

Ответ: \(EF\).

---

1.3

Обе плоскости \(PBM\) и \(MAB\) содержат точки \(B\) и \(M\). Поэтому их общая прямая:

\[ \boxed{BM}. \]

---

1.4

Расстояние от точки до плоскости — это перпендикуляр \(h=18\) см.

Для наклонной длины \(l\), образующей угол \(60^\circ\) с плоскостью:

\[ h=l\sin60^\circ. \]

Тогда

\[ l=\frac{18}{\sin60^\circ} =\frac{18}{\frac{\sqrt3}{2}} =12\sqrt3\text{ см}. \]

Проверка:

\[ 12\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=18. \]

---

1.5

Так как \(BM\perp\) плоскости прямоугольника, а \(CD\) лежит в этой плоскости, то \(CD\perp BM\). Также \(CD\perp BC\), значит \(CD\perp MC\).

Треугольник \(MCD\) прямоугольный:

\[ MD^2=MC^2+CD^2. \]

\[ MD^2=15^2+8^2=225+64=289, \]

\[ MD=17\text{ см}. \]

---

1.6

В условии, вероятно, опечатка: сначала дана точка \(D\), а в конце спрашивается точка \(M\). Решим для точки \(D\).

У равностороннего треугольника со стороной \(6\) см радиус описанной окружности:

\[ R=\frac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3. \]

Проекция точки \(D\) на плоскость треугольника находится в центре треугольника. Поэтому:

\[ DD_0^2+R^2=4^2. \]

\[ DD_0^2=16-(2\sqrt3)^2=16-12=4, \]

\[ DD_0=2\text{ см}. \]

---

1.7

\[ \vec a=(-4;0;2),\qquad \vec b=(2;-3;1). \]

\[ 2\vec b=(4;-6;2), \]

\[ 1{,}5\vec a=(-6;0;3). \]

Тогда

\[ 2\vec b-1{,}5\vec a =(4;-6;2)-(-6;0;3) =(10;-6;-1). \]

---

1.8

Обозначим направления рёбер куба:

\[ \vec{AB}=\mathbf i,\qquad \vec{AD}=\mathbf j,\qquad \vec{AA_1}=\mathbf k. \]

A)

\[ \vec{AB},\ \vec{A_1B_1},\ \vec{D_1C_1} \]

направлены одинаково, поэтому компланарны.

B)

\[ \vec{DC}=\mathbf i,\quad \vec{AA_1}=\mathbf k,\quad \vec{A_1D_1}=\mathbf j. \]

Это три независимых направления, они некомпланарны.

C)

\[ \vec{C_1C}=-\mathbf k,\quad \vec{BB_1}=\mathbf k,\quad \vec{AD}=\mathbf j. \]

Все они лежат в плоскости, натянутой на \(\mathbf j\) и \(\mathbf k\).

Ответ: A и C.

---

2.1

Сторона куба \(4\) см, поэтому диагональ основания:

\[ BD=4\sqrt2. \]

Расстояние от вершины \(A\) или \(C\) до диагонали \(BD\) равно половине диагонали:

\[ HN=2\sqrt2. \]

Угол между плоскостью \(BDK\) и плоскостью основания равен \(45^\circ\). В перпендикулярном сечении:

\[ \tan45^\circ=\frac{KH}{HN}, \]

поэтому

\[ KH=HN=2\sqrt2. \]

Высота треугольника \(BDK\), опущенная на \(BD\):

\[ KN=\sqrt{KH^2+HN^2} =\sqrt{8+8}=4. \]

Тогда площадь:

\[ S_{\triangle BDK} =\frac12\cdot BD\cdot KN =\frac12\cdot4\sqrt2\cdot4 =8\sqrt2\text{ см}^2. \]

---

2.2

Для вектора

\[ \vec a=(5;-1;7) \]

длина:

\[ |\vec a|=\sqrt{5^2+(-1)^2+7^2} =\sqrt{75}=5\sqrt3. \]

Единичный вектор оси \(OX\): \((1;0;0)\). Поэтому

\[ \cos\alpha=\frac{5}{5\sqrt3} =\frac1{\sqrt3}. \]

\[ \boxed{\alpha=\arccos\frac1{\sqrt3}\approx54{,}7^\circ}. \]

---

2.3а

Центр сферы находится в начале координат, а плоскость \(x=5\) касается сферы. Радиус равен расстоянию от начала координат до этой плоскости:

\[ R=5. \]

Уравнение сферы:

\[ \boxed{x^2+y^2+z^2=25}. \]

---

2.3б

Дано:

\[ x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-2=0. \]

Сгруппируем и дополним до квадратов:

\[ (x^2-2x)+(y^2+4y)+(z^2-6z)=2, \]

\[ (x-1)^2-1+(y+2)^2-4+(z-3)^2-9=2. \]

\[ (x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=16. \]

Стандартный вид:

\[ (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2. \]

Следовательно,

\[ \boxed{O(1;-2;3)},\qquad \boxed{R=4}. \]