Тест по предмету «Алгебра» на тему «Доказательство неравенств»

Для любых действительных \(x\) и \(y\) нужно доказать неравенство \(x^2+y^2\ge 2xy\). Какое утверждение непосредственно доказывает его?
A) \((x-y)^2\ge0\)
B) \((x+y)^2\le0\)
C) \((x-y)^2\le0\)
D) \(x^2+y^2+2xy\le0\)

Какое равенство верно и позволяет доказать неравенство \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)?
A) \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac12\bigl((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\bigr)\)
B) \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac12\bigl((a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2\bigr)\)
C) \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=-\frac12\bigl((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\bigr)\)
D) \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=(a+b+c)^2\)

Для \(x>0\) доказывается неравенство \(x+\frac1x\ge2\). Какая запись верна?
A) \(x+\frac1x-2=\frac{(x-1)^2}{x}\ge0\)
B) \(x+\frac1x-2=\frac{(x+1)^2}{x}\ge0\)
C) \(x+\frac1x-2=-\frac{(x-1)^2}{x}\ge0\)
D) При умножении на \(x>0\) знак неравенства меняется

Какое представление доказывает неравенство \(x^2-8x+17\ge1\) для любого действительного \(x\)?
A) \(x^2-8x+17=(x-4)^2+1\ge1\)
B) \(x^2-8x+17=(x-4)^2-1\ge1\)
C) \(x^2-8x+17=(x+4)^2+1\ge1\)
D) \(x^2-8x+17=-(x-4)^2+1\ge1\)

Пусть \(a>0\) и \(b>0\). Какое равенство используется для доказательства неравенства \(\frac ab+\frac ba\ge2\)?
A) \(\frac ab+\frac ba-2=\frac{(a-b)^2}{ab}\ge0\)
B) \(\frac ab+\frac ba-2=\frac{(a+b)^2}{ab}\ge0\)
C) \(\frac ab+\frac ba-2=-\frac{(a-b)^2}{ab}\ge0\)
D) При умножении на \(ab>0\) знак неравенства меняется

Известно, что \(a+b=10\). Какой ход доказательства неравенства \(ab\le25\) является правильным?
A) \(0\le(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=100-4ab\), поэтому \(ab\le25\)
B) \(0\le(a-b)^2=4ab-100\), поэтому \(ab\ge25\)
C) \((a-b)^2\le0\), поэтому \(ab\le25\)
D) \(100=(a+b)^2=4ab\), поэтому \(ab=25\)

Известно, что \(a+b+c=3\). Какое рассуждение доказывает неравенство \(a^2+b^2+c^2\ge3\)?
A) \(0\le(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2=a^2+b^2+c^2-3\)
B) \(0\le(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2=3-a^2-b^2-c^2\)
C) Из \(a+b+c=3\) следует \(a^2+b^2+c^2=9\)
D) Из \(a+b+c=3\) следует \(a^2+b^2+c^2\le3\)

Если \(p<q\) и \(r>0\), какое неравенство обязательно верно?
A) \(pr<qr\)
B) \(pr>qr\)
C) \(\frac p r>\frac q r\)
D) \(-pr<-qr\)

Если \(p<q\) и \(r<0\), какое неравенство обязательно верно?
A) \(pr>qr\)
B) \(pr<qr\)
C) \(\frac p r<\frac q r\)
D) \(-pr>-qr\)

Пусть \(0<a<b\). Какое утверждение верно?
A) \(\frac1a>\frac1b\)
B) \(\frac1a<\frac1b\)
C) \(\frac1a=\frac1b\)
D) \(ab<0\)

При \(0\le a\le b\) какой переход является верным?
A) \(a^2\le b^2\)
B) \(a^2\ge b^2\)
C) \(a^2<b^2\) при любых \(a\) и \(b\)
D) \(a^2+b^2\le0\)

Какое дополнительное условие гарантирует, что из \(x<y\) следует \(x^2<y^2\)?
A) \(0\le x<y\)
B) \(x<y\le0\)
C) \(x<0<y\)
D) Никаких дополнительных условий не требуется

Ученик утверждает: «Из \(a>b\) всегда следует \(a^2>b^2\)». Почему это утверждение ошибочно?
A) Знаки \(a\) и \(b\) не заданы; например, \(-1>-2\), но \(1<4\)
B) При возведении в квадрат любое неравенство всегда меняет знак
C) Квадрат любого числа отрицателен
D) При прибавлении одного и того же числа знак неравенства меняется

Если \(a>b\) и \(c>d\), какое неравенство обязательно верно?
A) \(a+c>b+d\)
B) \(a-c>b-d\)
C) \(ac>bd\)
D) \(a+c<b+d\)

Пусть \(x>-1\). Как доказать неравенство \(\frac1{x+1}>\frac1{x+3}\)?
A) \(x+1>0\), \(x+1<x+3\), поэтому \(\frac1{x+1}>\frac1{x+3}\)
B) Оба знаменателя отрицательны, поэтому знак сохраняется
C) При переходе к обратным величинам знак неравенства всегда сохраняется
D) При умножении на \((x+1)(x+3)>0\) знак неравенства меняется

Пусть \(x>-2\). Какое преобразование доказывает неравенство \(\frac{x+2}{x+5}<1\)?
A) \(1-\frac{x+2}{x+5}=\frac3{x+5}>0\)
B) \(\frac{x+2}{x+5}-1=\frac3{x+5}>0\)
C) \(x+5<0\)
D) При умножении на \(x+5>0\) знак неравенства меняется

Пусть \(u\ge0\) и \(v\ge0\). Какое равенство доказывает неравенство \((u+v)^2\ge u^2+v^2\)?
A) \((u+v)^2-(u^2+v^2)=2uv\ge0\)
B) \((u+v)^2-(u^2+v^2)=-2uv\ge0\)
C) \((u+v)^2-(u^2+v^2)=uv\ge0\)
D) \(2uv\le0\)

Как правильно доказать неравенство \(|x|\ge x\) для любого действительного \(x\)?
A) Если \(x\ge0\), то \(|x|=x\); если \(x<0\), то \(|x|=-x>x\)
B) Если \(x\ge0\), то \(|x|=-x<x\); если \(x<0\), то \(|x|=x\)
C) Для любого \(x\) верно \(|x|=x-1\)
D) При \(x<0\) всегда \(|x|<x\)

При каком значении \(x\) достигается равенство в неравенстве \(x^2+4\ge4x\)?
A) \(x=2\)
B) \(x=-2\)
C) \(x=0\)
D) При любом \(x\)

Какое преобразование доказывает неравенство \(x^4+1\ge2x^2\) для любого действительного \(x\)?
A) \(x^4+1-2x^2=(x^2-1)^2\ge0\)
B) \(x^4+1-2x^2=(x-1)^2\ge0\)
C) \(x^4+1-2x^2=-(x^2-1)^2\ge0\)
D) \(x^4+1<2x^2\)

Известно, что \(x+y=7\). Какое преобразование доказывает неравенство \(x^2+y^2\ge\frac{49}{2}\)?
A) \(x^2+y^2-\frac{49}{2}=\frac{(x-y)^2}{2}\ge0\)
B) \(x^2+y^2-\frac{49}{2}=-\frac{(x-y)^2}{2}\ge0\)
C) \(x^2+y^2=\frac{49}{2}\) при любых \(x\) и \(y\)
D) Из \((x-y)^2\ge0\) следует \(x^2+y^2\le\frac{49}{2}\)

Если \(a>b\) и \(b\ge c\), какое утверждение обязательно верно?
A) \(a>c\)
B) \(a<c\)
C) \(a=c\)
D) Сравнить \(a\) и \(c\) невозможно