Реши задание на изображении
Анализ функций на максимум
Похоже, у меня есть функция \(y=17+15x-2x^{3/2}\) с областью определения \(x \geq 0\). Я вычислил производную \(15 - 3\sqrt{x}\) и установил, что \(\sqrt{x}=5\) даёт \(x=25\). Производная положительна при \(x<25\) и отрицательна при \(x>25\), что указывает на максимум в точке \(x=25\), где \(y=142\).
Далее, для \(y=(23-x)e^{x+23}\) я также определил, что максимум достигается при \(x=22\), и тогда \(y=e^{45}\).
Анализ точки минимума
Я определяю, что при \(x=2\) значение функции отрицательно, что указывает на глобальный минимум в точке (2, -e^5). Интересно, может ли быть ещё одна точка, которую стоит проверить. Далее мне нужно проверить производную для критических точек. Пользователь специально запросил сначала краткий ответ, а затем ключевые шаги или рассуждения, а также проверку результата, где это применимо. Я должен убедиться, что выполню эту просьбу!
Вычисление производных и максимумов
Я хочу найти производную при \(x=0\) для функции \(x^{3/2}\), и она равна 0. На интервале [0, 25) функция положительна, но после этого становится отрицательной. При \(x=25\) я получаю максимум 142. Производная другой функции содержит \(e^{x+23}\) и показывает, что она положительна при \(x<22\) и отрицательна при \(x>22\). Наконец, для последней функции я нахожу, что максимум достигается при \(91/10\) для \(x\), удовлетворяющего определённым условиям.
Краткий ответ
Если требуется абсцисса точки экстремума:
- Точка минимума: \(\boxed{x=2}\)
- Точка максимума: \(\boxed{x=25}\)
- Точка максимума: \(\boxed{x=22}\)
- Точка максимума: \(\boxed{x=\frac{91}{10}}\)
- Точка минимума: \(\boxed{x=2}\)
Координаты соответствующих точек графика:
\[ (2;-11),\quad (25;142),\quad (22;e^{45}),\quad \left(\frac{91}{10};-84-\ln 10\right),\quad (2;-e^5). \]
Решение
Правило: в точках минимума производная меняет знак с «−» на «+», а в точках максимума — с «+» на «−».
№ 1
\[ y=x^3-12x+5, \]
\[ y'=3x^2-12=3(x-2)(x+2). \]
Критические точки: \(x=-2\) и \(x=2\). В точке \(x=2\) производная меняет знак с «−» на «+», значит, это минимум.
\[ y(2)=8-24+5=-11. \]
Точка минимума: \(\boxed{x=2}\), или \(\boxed{(2;-11)}\).
№ 2
\[ y=17+15x-2x^{\frac32}, \qquad x\geq 0. \]
\[ y'=15-3\sqrt{x}. \]
\[ 15-3\sqrt{x}=0 \Rightarrow \sqrt{x}=5 \Rightarrow x=25. \]
До \(x=25\) функция возрастает, после \(x=25\) — убывает, поэтому это максимум.
\[ y(25)=17+15\cdot25-2\cdot25^{\frac32} =17+375-2\cdot125=142. \]
Точка максимума: \(\boxed{x=25}\), или \(\boxed{(25;142)}\).
№ 3
\[ y=(23-x)e^{x+23}. \]
По правилу производной произведения:
\[ y'=-e^{x+23}+(23-x)e^{x+23} =e^{x+23}(22-x). \]
Так как \(e^{x+23}>0\), знак производной определяется выражением \(22-x\). Функция возрастает при \(x<22\) и убывает при \(x>22\).
Значит, максимум достигается при \(x=22\):
\[ y(22)=(23-22)e^{22+23}=e^{45}. \]
Точка максимума: \(\boxed{x=22}\), или \(\boxed{(22;e^{45})}\).
№ 4
Область определения:
\[ x-9>0 \Rightarrow x>9. \]
\[ y=\ln(x-9)-10x+7, \]
\[ y'=\frac1{x-9}-10 =\frac{91-10x}{x-9}. \]
Приравняем производную к нулю:
\[ 91-10x=0 \Rightarrow x=\frac{91}{10}. \]
Производная меняет знак с «+» на «−», поэтому это максимум.
\[ y\left(\frac{91}{10}\right) =\ln\frac1{10}-91+7 =-\ln10-84. \]
Точка максимума:
\[ \boxed{x=\frac{91}{10}}, \]
или
\[ \boxed{\left(\frac{91}{10};-84-\ln10\right)}. \]
№ 5
\[ y=(x^2-5x+5)e^{7-x}. \]
\[ y'=e^{7-x}\bigl((2x-5)-(x^2-5x+5)\bigr). \]
Упростим:
\[ y'=e^{7-x}(-x^2+7x-10) =-e^{7-x}(x-2)(x-5). \]
Критические точки:
\[ x=2,\qquad x=5. \]
На \(x=2\) производная меняет знак с «−» на «+», значит, это минимум.
\[ y(2)=(4-10+5)e^5=-e^5. \]
Точка минимума: \(\boxed{x=2}\), или \(\boxed{(2;-e^5)}\).
