Реши задание на изображении

Анализ производных и критических точек

Я работаю с несколькими математическими функциями и их производными, чтобы найти максимальные и минимальные значения. Для первой функции, по-видимому, максимум достигается при x=1. Я вычислил значения на концах отрезка и подтвердил, что максимум действительно равен -4. Затем для второй функции я нашёл минимум при x=4 со значением -3. Наконец, для третьей функции я установил минимум при x=10, получив значение -1. В целом всё сходится!

Определение области определения функции

Мне нужно показать, что область определения выражения x + 8 > 0 корректна. Интервал [-7.5, 0] определённо лежит в этой области, поскольку содержит значения, большие -8. Поэтому я задаю функцию как f = 5x - ln((x + 8)^5). Важно, чтобы функция вычислялась только там, где она определена, и я уверен, что этот интервал удовлетворяет требованиям к области определения!

Анализ уравнения

Я рассматриваю уравнение \(5/(x+8)=5(x+7)/(x+8)\) и учитываю положительность знаменателя. Мне нужно найти производную — она отрицательна при \(x < -7\) и положительна при \(x > -7\), поэтому минимум достигается при \(x = -7\). Вычисление в этой точке даёт \(f(-7) = -35\).

Возможно, мне нужно чётко объяснить обозначения; \( \ln (x + 8)^5\), вероятно, следует понимать как \(\ln((x + 8)^5)\). Я проверю ключевые шаги и представлю ответы в ясном, кратком формате.

Проверка формул и ответов

Мне нужно включить точные формулы и решить, использовать ли запятую или десятичную точку. Начать с краткого ответа — главное, поэтому я перечислю их:

1. -3; 2) -1; 3) -35; 4) 10; 5) -4.

Затем я выведу каждую из них ещё раз, чтобы перепроверить все значения. Если внимательно посмотреть на изображение, #3 должна быть \(y=5x - \ln (x+8)^5\), при этом надстрочный индекс 5 расположен правильно.

Для #1 выражение имеет вид \(x\sqrt{x} - 3x + 1\), а для #2 — \((x-11)e^{x-10}\). Для #4 и #5 я также проверю интервалы. Всё выглядит правильно!

Анализ производных и значений

Я работаю над нахождением нулей производной на замкнутом интервале и сравнением значений. Для концов интервала я вычислил значения y(1), y(9) и y(4), определив минимум, равный -3. Я также вычислил x√x при 9. После проверки значений функций и их знаков я подтвердил наличие минимума и сравнил значения в другой конечной точке. Наконец, я уточнил логарифмическое выражение и его формат, чтобы избежать путаницы. Анализ производной привёл к максимуму при 1/7, подтвердив, что значения на концах интервала могут быть не нужны, поскольку таблица знаков это гарантирует.

Проверка критических точек и концов интервала

Я рассматриваю замкнутый интервал и определяю критические точки, чтобы найти глобальный максимум. Для проверки я вычислил значения на концах интервала. При 1/14 я получил, что ln(1/2) - 1/2 + 11 приблизительно равно 9.807, что меньше 10. Затем при 5/14 значение составило примерно 9.416, также меньше 10. Я указал производную, которая равна \(y' = 4x - 9 + 5/x\), и отметил её знак на положительном интервале.