Реши задание на изображении
Объяснение нулевой производной и смены знака
Мне нужно объяснить общий принцип: когда производная функции равна нулю, это часто указывает на точку, в которой функция меняет направление — это может быть максимум, минимум или точка перегиба. Сначала я дам краткий обзор, затем изложу основные шаги или выводы, необходимые для обоснования этого. Я постараюсь сделать объяснение ясным и кратким, чтобы пользователю было легко его понять!
Уточнение критериев по производной
Мне нужно сохранить объяснение кратким, но понятным. Важно упомянуть критерий по производной: если \( f' = 0 \) и знак меняется с положительного на отрицательный, это указывает на максимум, а смена с отрицательного на положительный — на минимум. Также нужно уточнить обозначение \( x^{\frac{3}{2}} \) на изображении. Возможно, есть некоторая неоднозначность в понимании «точки минимума», поэтому я представлю обе формы. Внешние ссылки для этой школьной задачи не нужны.
Краткий ответ
Если в бланк нужно записать только \(x\)-координату:
- \(x_{\min}=1\)
- \(x_{\max}=16\)
- \(x_{\max}=12\)
- \(x_{\max}=\dfrac{27}{2}\)
- \(x_{\min}=2\)
Координаты точек графика:
\[
(1;17),\quad (16;70),\quad (12;e^{25}),\quad
\left(\frac{27}{2};-20-\ln 2\right),\quad (2;-4e^2).
\]
Как находить точки экстремума
Ищем производную и критические точки из условия \(y'=0\):
- знак производной меняется с «\(-\)» на «\(+\)» — минимум;
- с «\(+\)» на «\(-\)» — максимум.
№1
\[ y=x^3-3x+19,\qquad y'=3x^2-3=3(x-1)(x+1). \]
Критические точки: \(x=-1\) и \(x=1\).
В точке \(x=1\) производная меняет знак с «\(-\)» на «\(+\)», значит, это минимум.
\[ y(1)=1-3+19=17. \]
Ответ: \(\boxed{x_{\min}=1}\).
№2
\[ y=6+12x-2x^{\frac32},\qquad x\geq 0. \]
\[ y'=12-3\sqrt{x}. \]
Находим критическую точку:
\[ 12-3\sqrt{x}=0 \Rightarrow \sqrt{x}=4 \Rightarrow x=16. \]
До \(x=16\) функция возрастает, после \(x=16\) убывает, поэтому это максимум.
\[ y(16)=6+12\cdot16-2\cdot16^{\frac32} =6+192-128=70. \]
Ответ: \(\boxed{x_{\max}=16}\).
№3
\[ y=(13-x)e^{x+13}. \]
По правилу производной произведения:
\[ y'=-e^{x+13}+(13-x)e^{x+13} =(12-x)e^{x+13}. \]
Так как \(e^{x+13}>0\), критическая точка определяется уравнением:
\[ 12-x=0\Rightarrow x=12. \]
Производная меняет знак с «\(+\)» на «\(-\)», значит, это максимум.
\[ y(12)=(13-12)e^{25}=e^{25}. \]
Ответ: \(\boxed{x_{\max}=12}\).
№4
Область определения:
\[ x-13>0\Rightarrow x>13. \]
\[ y=\ln(x-13)-2x+7, \qquad y'=\frac1{x-13}-2. \]
\[ \frac1{x-13}-2=0 \Rightarrow \frac1{x-13}=2 \Rightarrow x-13=\frac12 \Rightarrow x=\frac{27}{2}. \]
Производная меняет знак с «\(+\)» на «\(-\)», поэтому это максимум.
\[ y\left(\frac{27}{2}\right) =\ln\frac12-27+7 =-\ln2-20. \]
Ответ: \(\boxed{x_{\max}=\dfrac{27}{2}}\).
№5
\[ y=(x^2-8x+8)e^{4-x}. \]
Производная:
\[ y'=e^{4-x}\left[(2x-8)-(x^2-8x+8)\right]. \]
\[ y'=e^{4-x}(-x^2+10x-16) =-e^{4-x}(x-2)(x-8). \]
Критические точки:
\[ x=2,\qquad x=8. \]
В точке \(x=2\) производная меняет знак с «\(-\)» на «\(+\)», значит, это минимум.
\[ y(2)=(4-16+8)e^2=-4e^2. \]
Ответ: \(\boxed{x_{\min}=2}\).
