Тест по предмету «Алгебра» на тему «Доказательство неравенств»
Какое выражение неотрицательно при любом действительном \(x\)?
A) \((x-3)^2\)
B) \(-(x-3)^2-1\)
C) \(x-3\)
D) \(-x^2-1\)Дано \(a>b\). Какое неравенство получается при прибавлении \(4\) к обеим частям?
A) \(a+4>b+4\)
B) \(a+4<b+4\)
C) \(a-4>b+4\)
D) \(a-4<b-4\)Дано \(a>b\). Какое неравенство следует после умножения обеих частей на \(3\)?
A) \(3a>3b\)
B) \(3a<3b\)
C) \(-3a>-3b\)
D) \(\dfrac a3<\dfrac b3\)Дано \(a>b\). Какое неравенство следует после умножения обеих частей на \(-2\)?
A) \(-2a>-2b\)
B) \(-2a<-2b\)
C) \(2a<2b\)
D) \(-a>-b\)Какая запись верно представляет выражение \(x^2-8x+17\)?
A) \((x-4)^2+1\)
B) \((x-4)^2-1\)
C) \((x+4)^2+1\)
D) \((x-8)^2+17\)Какое неравенство получается после раскрытия скобок в \((x-5)^2\geqslant0\)?
A) \(x^2-10x+25\geqslant0\)
B) \(x^2-10x-25\geqslant0\)
C) \(x^2+10x+25\geqslant0\)
D) \(x^2-5x+25\geqslant0\)Какая цепочка рассуждений правильно доказывает неравенство \(a^2+b^2\geqslant2ab\) для любых действительных \(a\) и \(b\)?
A) \((a-b)^2\geqslant0\Rightarrow a^2-2ab+b^2\geqslant0\Rightarrow a^2+b^2\geqslant2ab\)
B) \((a+b)^2\geqslant0\Rightarrow a^2-2ab+b^2\geqslant0\Rightarrow a^2+b^2\geqslant2ab\)
C) \((a-b)^2\leqslant0\Rightarrow a^2-2ab+b^2\leqslant0\Rightarrow a^2+b^2\geqslant2ab\)
D) \((a+b)^2\leqslant0\Rightarrow a^2+b^2\geqslant2ab\)Если \(x>3\), какое неравенство обязательно выполняется?
A) \(x^2>9\)
B) \(x^2<9\)
C) \(x^2=9\)
D) \(x^2>10\)Дано \(-2<x<5\). Какое неравенство получится при прибавлении \(3\) ко всем трём частям?
A) \(1<x+3<8\)
B) \(-5<x+3<2\)
C) \(1<x-3<8\)
D) \(-2<x+3<5\)Дано \(0<a<b\). Какое неравенство верно?
A) \(\dfrac1a>\dfrac1b\)
B) \(\dfrac1a<\dfrac1b\)
C) \(\dfrac1a=\dfrac1b\)
D) \(\dfrac1a<0\)
- Какое неравенство выполняется при любом действительном \(x\)?
A) \(x^2+4\geqslant4\)
B) \(x^2+4\leqslant4\)
C) \(x^2-4\geqslant4\)
D) \(-x^2+4\geqslant4\)
- Какое преобразование позволяет доказать, что \(x^2-6x+11>0\) при любом действительном \(x\)?
A) \(x^2-6x+11=(x-3)^2+2>0\)
B) \(x^2-6x+11=(x-3)^2-2>0\)
C) \(x^2-6x+11=(x+3)^2+2>0\)
D) \(x^2-6x+11=(x-6)^2+11>0\)
- Дано \(a>b\) и \(b>c\). Какое неравенство следует из этих условий?
A) \(a>c\)
B) \(a<c\)
C) \(a=c\)
D) \(b>a\)
- Какая цепочка позволяет доказать неравенство \(x^2+3>2x\) для любого действительного \(x\)?
A) \(x^2+3-2x=(x-1)^2+2>0\)
B) \(x^2+3-2x=(x+1)^2+2>0\)
C) \(x^2+3-2x=(x-1)^2-2>0\)
D) \(x^2+3-2x=-(x-1)^2+2>0\)
- Дано \(a>b\) и \(c>d\). Какое неравенство обязательно выполняется?
A) \(a+c>b+d\)
B) \(a+c<b+d\)
C) \(a-c>b-d\)
D) \(ac>bd\)
- Пусть \(x<0\). Какое неравенство получится при умножении \(2<5\) на \(x\)?
A) \(2x<5x\)
B) \(2x>5x\)
C) \(2x=5x\)
D) \(-2x>-5x\)
- При каком значении \(x\) достигается равенство в неравенстве \(x^2-4x+4\geqslant0\)?
A) \(x=-2\)
B) \(x=0\)
C) \(x=2\)
D) \(x=4\)
- Какая цепочка правильно доказывает неравенство \((a+b)^2\geqslant4ab\) для любых действительных \(a\) и \(b\)?
A) \((a-b)^2\geqslant0\Rightarrow a^2-2ab+b^2\geqslant0\Rightarrow a^2+2ab+b^2\geqslant4ab\Rightarrow(a+b)^2\geqslant4ab\)
B) \((a+b)^2\geqslant0\Rightarrow a^2-2ab+b^2\leqslant0\Rightarrow(a+b)^2\leqslant4ab\)
C) \((a-b)^2\leqslant0\Rightarrow a^2+2ab+b^2\geqslant4ab\)
D) \((a+b)^2\geqslant0\Rightarrow a^2+b^2\leqslant2ab\Rightarrow(a+b)^2\leqslant4ab\)
- Дано \(a>0\) и \(b>0\). Какое неравенство получается из \((a-b)^2\geqslant0\) после деления на \(ab\)?
A) \(\dfrac ab+\dfrac ba\geqslant2\)
B) \(\dfrac ab+\dfrac ba\leqslant2\)
C) \(\dfrac ab-\dfrac ba\geqslant2\)
D) \(\dfrac ab\cdot\dfrac ba\geqslant2\)
- Какая запись является правильным доказательством неравенства \(x^2+2x+5>0\) для любого действительного \(x\)?
A) \(x^2+2x+5=(x+1)^2+4>0\)
B) \(x^2+2x+5=(x+1)^2-4>0\)
C) \(x^2+2x+5=(x-1)^2+4>0\)
D) \(x^2+2x+5=-(x+1)^2+4>0\)
- Какое неравенство следует из \((x-1)^2\geqslant0\)?
A) \(x^2+1\geqslant2x\)
B) \(x^2+1\leqslant2x\)
C) \(x^2-1\geqslant2x\)
D) \(x^2-1\leqslant2x\)
- Пусть \(x>y>0\). Какая цепочка неравенств верна?
A) \(x^2>xy>y^2\)
B) \(x^2<xy<y^2\)
C) \(x^2>xy<y^2\)
D) \(x^2<xy>y^2\)
