Тест по предмету «Алгебра» на тему «Доказательство неравенств»

1. Какой шаг является достаточным для доказательства неравенства \(A>B\)?

A) Показать, что \(A-B>0\)
B) Показать, что \(A+B>0\)
C) Показать, что \(AB>0\)
D) Показать, что \(A-B<0\)

2. Какое преобразование подтверждает, что для любого действительного \(x\) верно неравенство \(x^2+6x+10\ge1\)?

A) \(x^2+6x+10=(x+3)^2+1\ge1\)
B) \(x^2+6x+10=(x+3)^2-1\ge1\)
C) \(x^2+6x+10=(x-3)^2+1\ge1\)
D) \(x^2+6x+10=(x+6)^2+10\ge1\)

3. Из неравенства \((a-b)^2\ge0\) для действительных \(a\) и \(b\) следует:

A) \(a^2+b^2\ge2ab\)
B) \(a^2+b^2\le2ab\)
C) \(a^2-b^2\ge0\)
D) \(a^2+b^2<2ab\)

4. Пусть \(x>y\). Какое утверждение обязательно верно при любых действительных \(x\) и \(y\)?

A) \(5x+1>5y+1\)
B) \(-3x+2>-3y+2\)
C) \(x^2>y^2\)
D) \(x-7<y-7\)

5. Если \(a>b\) и \(c<0\), какое утверждение обязательно верно?

A) \(ac>bc\)
B) \(ac<bc\)
C) \(ac=bc\)
D) \(ac\ge bc\)

6. Пусть \(x>0\). Какое равенство верно?

A) \(x+\dfrac1x-2=\dfrac{(x+1)^2}{x}\)
B) \(x+\dfrac1x-2=\dfrac{(x-1)^2}{x}\)
C) \(x+\dfrac1x-2=\dfrac{x^2-2}{x}\)
D) \(x+\dfrac1x-2=\dfrac{x^2+1}{x}\)

7. Каково наименьшее значение выражения \(x^2-4x+7\) при действительном \(x\)?

A) \(0\)
B) \(2\)
C) \(3\)
D) \(7\)

8. Какое неравенство верно для всех действительных \(x\)?

A) \(x^2+1\ge2x\)
B) \(x^2+1\le2x\)
C) \(x^2+1<2x\)
D) \(x^2+1=2x\)

9. Пусть \(a>0\) и \(b>0\). Какое сравнение верно для всех таких \(a\) и \(b\)?

A) \(\dfrac ab+\dfrac ba<2\)
B) \(\dfrac ab+\dfrac ba=2\)
C) \(\dfrac ab+\dfrac ba>2\)
D) \(\dfrac ab+\dfrac ba\ge2\)

10. Если \(0<x<y\), то:

A) \(\dfrac1x<\dfrac1y\)
B) \(\dfrac1x>\dfrac1y\)
C) \(\dfrac1x=\dfrac1y\)
D) \(\dfrac1x\le\dfrac1y\)

11. Пусть \(a\ge b\ge0\). Какое утверждение обязательно верно?

A) \(a^2\ge b^2\)
B) \(a^2\le b^2\)
C) \(a^2>b^2\)
D) \(a^2=-b^2\)

12. Для доказательства неравенства \((a+b)^2\ge4ab\) для любых действительных \(a\) и \(b\) можно записать:

A) \((a+b)^2-4ab=(a-b)^2\ge0\)
B) \((a+b)^2-4ab=-(a-b)^2\ge0\)
C) \((a+b)^2-4ab=(a+b)^2\ge0\)
D) \((a+b)^2-4ab=4ab-(a+b)^2\ge0\)

13. Пусть \(x^2+y^2=10\), где \(x\) и \(y\) — действительные числа. Какое наибольшее значение может иметь произведение \(xy\)?

A) \(2\)
B) \(5\)
C) \(10\)
D) \(20\)

14. Пусть \(p>0\), \(q>0\) и \(p+q=10\). Какое наибольшее значение может иметь произведение \(pq\)?

A) \(10\)
B) \(20\)
C) \(25\)
D) \(50\)

15. Какое выражение неотрицательно при любом действительном \(t\)?

A) \((t-4)^2\)
B) \(t-4\)
C) \(-(t-4)^2\)
D) \((t-4)^3\)

16. Какое неравенство верно для любых действительных \(a\) и \(b\)?

A) \(a^2+b^2+1\ge2a\)
B) \(a^2+b^2+1\le2a\)
C) \(a^2+b^2+1<2a\)
D) \(a^2+b^2+1=2a\)

17. Пусть \(u>v\). Какое утверждение не обязательно верно?

A) \(u+7>v+7\)
B) \(-2u<-2v\)
C) \(u^2>v^2\)
D) \(3u>3v\)

18. Из неравенства \((x-3)^2\ge0\) следует:

A) \(x^2+9\ge6x\)
B) \(x^2+9\le6x\)
C) \(x^2+3\ge6x\)
D) \(x^2+9>6x\)

19. Пусть \(a>0\) и \(b>0\). Какое равенство верно?

A) \(\dfrac ab+\dfrac ba-2=\dfrac{(a-b)^2}{ab}\)
B) \(\dfrac ab+\dfrac ba-2=\dfrac{(a+b)^2}{ab}\)
C) \(\dfrac ab+\dfrac ba-2=\dfrac{(a-b)^2}{a+b}\)
D) \(\dfrac ab+\dfrac ba-2=\dfrac{a^2-b^2}{ab}\)

20. Какое неравенство верно для всех действительных \(x\)?

A) \(x^2+3\ge2x+2\)
B) \(x^2+3\le2x+2\)
C) \(x^2+3>2x+2\)
D) \(x^2+3=2x+2\)

21. При каком условии достигается равенство в неравенстве \(a^2+b^2\ge2ab\)?

A) \(a=b\)
B) \(a=-b\)
C) \(ab=0\)
D) Равенство выполняется при любых \(a\) и \(b\)

22. Из неравенства \((a-1)^2+(b-1)^2\ge0\) следует:

A) \(a^2+b^2+2\ge2a+2b\)
B) \(a^2+b^2+2\le2a+2b\)
C) \(a^2+b^2+1\ge2a+2b\)
D) \(a^2+b^2+2>2a+2b\)