Реши задание на изображении

Объяснение принципов производной

Я разбираюсь с заданием пользователя о производных и принципе, лежащем в их основе. Похоже, сначала нужно дать краткий ответ, а затем привести основные шаги, убедившись в правильности вычислений.

Например, в первой производной я вычислил \(y=x\sqrt{x}-3x+27\) и установил, что она строго убывает на отрезке \([2,4]\). Ответ для этой части — 23.

Во второй части функция имеет минимум при \(x=5\), значение которого равно \(-1\).

Мне нужно уточнить обозначения для третьей части, чтобы избежать неоднозначности.

Анализ функции и её производной

Я работаю с функцией \(y=2x-\ln((x+7)^2)\) и определяю её область определения, для чего требуется \(x+7\ge0.5\). Я вычисляю производную: \(2 - 2/(x+7) = 2(x+6)/(x+7)\). При \(x=-6\) производная равна нулю, поэтому я проверяю изменение знака: она отрицательна на \([-6.5, -6)\) и положительна на \((-6, 0]\), что указывает на минимум при \(x=-6\), где \(f(-6)=-12\).

Для четвёртой части производная указывает на максимум при \(x=1/5\) внутри отрезка \([0.1, 0.5]\).

Анализ функций и производных

Я разбираю выражение \(2\sqrt{x} - 3\) при \(x\) из диапазона \([2,4]\). Я вижу, что \(\sqrt{x}\) достигает максимума, равного 2, а функция не возрастает, поэтому минимум достигается при \(x=4\), что даёт \(y(4)=23\). Проверка \(y(2)\), равного \(21 + 2\sqrt{2}\), показывает, что оно больше 23. Затем я проверяю поведение функции в окрестности \(x=5\), устанавливая, что её минимум там равен \(-1\), и сравниваю его со значениями в других точках, чтобы убедиться в точности. Анализ области определения также выявляет промежутки убывания и возрастания для \(y'\).