Тест по предмету «Алгебра» на тему «Доказательство неравенств»

1. Если \(a>b\), какое утверждение всегда верно?

   A. \(a+5<b+5\)
   B. \(a+5>b+5\)
   C. \(5-a>5-b\)
   D. \(a-5<b-5\)

2. Известно, что \(a>b\) и \(c<0\). Какое сравнение обязательно выполняется?

   A. \(ac>bc\)
   B. \(ac=bc\)
   C. \(ac<bc\)
   D. \(\dfrac{a}{c}>\dfrac{b}{c}\)

3. Если \(x>2\), какое неравенство получается после умножения обеих частей на \(3\)?

   A. \(3x<6\)
   B. \(3x=6\)
   C. \(x>6\)
   D. \(3x>6\)

4. Пусть \(a>b\), а знак числа \(x\) неизвестен. Какой вывод о выражениях \(ax\) и \(bx\) можно сделать?

   A. Однозначно сравнить их нельзя.
   B. \(ax>bx\)
   C. \(ax<bx\)
   D. \(ax=bx\)

5. Какое выражение неотрицательно при любом действительном \(x\)?

   A. \(-(x-4)^2\)
   B. \(x-4\)
   C. \((x-4)^2\)
   D. \(-x^2-1\)

6. Какое представление доказывает, что \(x^2-6x+10>0\) при любом действительном \(x\)?

   A. \(x^2-6x+10=(x-3)^2-1\)
   B. \(x^2-6x+10=(x-3)^2+1\)
   C. \(x^2-6x+10=(x+3)^2+1\)
   D. \(x^2-6x+10=(x-6)^2+10\)

7. Для какого значения \(x\) достигается равенство в неравенстве \(x^2+4\geq4x\)?

   A. \(x=-2\)
   B. \(x=0\)
   C. Равенство не достигается.
   D. \(x=2\)

8. Какое неравенство получается из неотрицательности выражения \((a-b)^2\)?

   A. \(a^2+b^2\geq2ab\)
   B. \(a^2+b^2\leq2ab\)
   C. \(a^2-b^2\geq0\)
   D. \(a+b\geq0\)

9. Какое утверждение непосредственно следует из \((x+3)^2\geq0\)?

   A. \(x^2+6x+9\leq0\)
   B. \(x^2-6x+9\leq0\)
   C. \(x^2+6x+9\geq0\)
   D. \(x^2+6x-9\geq0\)

10. Если \(0<a<b\), какое сравнение верно?

    A. \(a^2>b^2\)
    B. \(a^2<b^2\)
    C. \(a^2=b^2\)
    D. Сравнить \(a^2\) и \(b^2\) невозможно.

11. Если \(a<b<0\), какое сравнение верно?

    A. \(a^2<b^2\)
    B. \(a^2=b^2\)
    C. Сравнить квадраты невозможно.
    D. \(a^2>b^2\)

12. Если \(0<a<b\), какое сравнение верно для обратных чисел?

    A. \(\dfrac1a>\dfrac1b\)
    B. \(\dfrac1a<\dfrac1b\)
    C. \(\dfrac1a=\dfrac1b\)
    D. Сравнить обратные числа невозможно.

13. Какое число является контрпримером к утверждению «для любого \(x\) выполняется \(x^2>x\»? A. \(2\)
    B. \(-2\)
    C. \(\dfrac12\)
    D. \(3\)

14. Из неравенства \((x-4)^2\geq0\) следует:

    A. \(x^2-8x\leq-16\)
    B. \(x^2-8x\geq-16\)
    C. \(x^2-8x\geq16\)
    D. \(x^2-8x\leq16\)

15. В каком виде можно представить выражение \(x^2+2x+5\), чтобы доказать его положительность при любом действительном \(x\)?

    A. \((x+1)^2-4\)
    B. \((x-1)^2+4\)
    C. \((x+2)^2+1\)
    D. \((x+1)^2+4\)

16. Какое утверждение верно при любом действительном \(x\)?

    A. \(x^2+1\geq2x\)
    B. \(x^2+1\leq2x\)
    C. \(x^2+1>2x\)
    D. \(x^2+1=2x\)

17. Если \(x\geq0\) и \(y\geq0\), какое неравенство всегда верно?

    A. \((x+y)^2\leq4xy\)
    B. \(x^2+y^2<2xy\)
    C. \((x+y)^2\geq4xy\)
    D. \((x-y)^2<0\)

18. Пусть \(a>b>0\). Какое рассуждение непосредственно доказывает неравенство \(a^2>b^2\)?

    A. \(a^2-b^2=(a+b)^2>0\)
    B. \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)>0\)
    C. \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)<0\)
    D. \(a^2-b^2=(a-b)^2>0\)

19. Если \(x<y\), какое неравенство получится после умножения обеих частей на \(-3\)?

    A. \(-3x<-3y\)
    B. \(-3x=-3y\)
    C. Сравнить выражения невозможно.
    D. \(-3x>-3y\)

20. Если \(a\geq b\) и \(c\geq0\), какое утверждение обязательно верно?

    A. \(ac<bc\)
    B. \(ac=bc\)
    C. \(ac\geq bc\)
    D. \(ac>bc\)

21. Ученик рассуждает: «Так как \(x^2\geq0\), то \(x^2-4\geq0\)». В чём ошибка?

    A. Из \(x^2\geq0\) следует лишь \(x^2-4\geq-4\), а не обязательно \(x^2-4\geq0\).
    B. Нужно заменить \(x^2\) на \(-x^2\).
    C. Неравенство \(x^2\geq0\) неверно при \(x=0\).
    D. Ошибки нет: вывод всегда верен.

22. Какое наименьшее значение имеет выражение \(x^2-6x+11\) при \(x\in\mathbb R\)?

    A. \(0\)
    B. \(2\)
    C. \(3\)
    D. \(11\)

Ответы

1 — B; 2 — C; 3 — D; 4 — A; 5 — C; 6 — B; 7 — D; 8 — A; 9 — C; 10 — B; 11 — D; 12 — A; 13 — C; 14 — B; 15 — D; 16 — A; 17 — C; 18 — B; 19 — D; 20 — C; 21 — A; 22 — B