Реши задание на изображении
Анализ обозначения выражения
Я рассматриваю знаменатель \(3x^2 + x^3\) и пытаюсь уточнить его номер. Обозначение «2)», вероятно, указывает на то, что это отдельное упражнение, а не подномер. Выше есть выражения, обозначенные а, б и в, и я думаю, что нижнее выражение, в котором, по-видимому, упрощаются дроби, действительно является упражнением номер 2. Важно проанализировать все видимые выражения, чтобы внести ясность в эту математическую задачу.
Решение уравнения
Мне нужно решить уравнение \(\frac{x^2-9}{3x^2+x^3} = \frac{x-3}{x^2}\). Числитель \(x^2−9\) можно разложить на множители как \((x-3)(x+3)\), а знаменатель \(3x^2+x^3\) упрощается до \(x^2(3+x)\). Поэтому я могу сократить множитель \(x+3\). Однако нужно помнить об ограничениях области определения: \(x ≠ 0\) и \(x ≠ -3\). Упрощённый результат \(\frac{2}{3}\) действителен только при соблюдении этих ограничений.
Краткий ответ:
\[ \text{а) }\frac{2x-2b}{3(x-b)}=\frac23,\qquad x\ne b; \]
\[ \text{б) }\frac{3(a-b)}{a(b-a)}=-\frac3a,\qquad a\ne0,\ a\ne b; \]
\[ \text{в) }\frac{3y+9}{y^2-9}=\frac3{y-3},\qquad y\ne3,\ y\ne-3; \]
\[ \text{нижняя дробь: }\frac{x^2-9}{3x^2+x^3}=\frac{x-3}{x^2}, \qquad x\ne0,\ x\ne-3. \]
Решение
Главное правило: разложить числитель и знаменатель на множители, затем сократить общие множители. Значения, при которых исходный знаменатель равен нулю, исключаются.
а)
\[ 2x-2b=2(x-b), \]
\[ \frac{2x-2b}{3(x-b)} =\frac{2(x-b)}{3(x-b)} =\frac23. \]
Ограничение: \(x-b\ne0\), значит \(x\ne b\).
б)
Заметим, что
\[ a-b=-(b-a). \]
Тогда
\[ \frac{3(a-b)}{a(b-a)} =\frac{-3(b-a)}{a(b-a)} =-\frac3a. \]
Ограничения: \(a\ne0\) и \(b-a\ne0\), то есть \(a\ne b\).
в)
\[ 3y+9=3(y+3),\qquad y^2-9=(y-3)(y+3). \]
Поэтому
\[ \frac{3y+9}{y^2-9} =\frac{3(y+3)}{(y-3)(y+3)} =\frac3{y-3}. \]
Ограничения: \(y\ne3\) и \(y\ne-3\).
Нижняя дробь:
\[ x^2-9=(x-3)(x+3), \]
\[ 3x^2+x^3=x^2(3+x)=x^2(x+3). \]
Следовательно,
\[ \frac{x^2-9}{3x^2+x^3} =\frac{(x-3)(x+3)}{x^2(x+3)} =\frac{x-3}{x^2}. \]
Ограничения: \(x\ne0\) и \(x\ne-3\).
Проверка выполняется обратной подстановкой сокращённых множителей: при указанных ограничениях исходные дроби и полученные выражения равны.
