повторение теорем косинусов и синусов
Кратко
Для треугольника \(ABC\) обозначим стороны напротив соответствующих углов так:
\[ a=BC,\qquad b=AC,\qquad c=AB. \]
Теорема косинусов
\[ \boxed{a^2=b^2+c^2-2bc\cos A} \]
Аналогично:
\[ b^2=a^2+c^2-2ac\cos B, \]
\[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C. \]
Она нужна, когда известны:
- две стороны и угол между ними — чтобы найти третью сторону;
- три стороны — чтобы найти угол.
Теорема синусов
\[ \boxed{\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R} \]
где \(R\) — радиус описанной окружности.
Она нужна, когда известна хотя бы одна пара «сторона и противолежащий угол».
Как применять
1. Теорема косинусов
Если \(b=5\), \(c=7\), \(A=60^\circ\), найдём \(a\):
\[ a^2=5^2+7^2-2\cdot5\cdot7\cos60^\circ. \]
Так как \(\cos60^\circ=\frac12\), получаем:
\[ a^2=25+49-70\cdot\frac12=39, \]
\[ \boxed{a=\sqrt{39}\approx6{,}24}. \]
Проверка: третья сторона должна быть больше разности и меньше суммы двух других:
\[ 7-5<6{,}24<7+5, \]
\[ 2<6{,}24<12. \]
Значит, результат возможен.
Если нужно найти угол, формулу преобразуют, например:
\[ \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}. \]
2. Теорема синусов
Пусть \(a=8\), \(A=30^\circ\), \(B=45^\circ\). Найдём \(b\):
\[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}. \]
Отсюда:
\[ b=\frac{a\sin B}{\sin A} =\frac{8\sin45^\circ}{\sin30^\circ}. \]
Подставим значения:
\[ b=\frac{8\cdot\frac{\sqrt2}{2}}{\frac12} =8\sqrt2\approx11{,}31. \]
\[ \boxed{b=8\sqrt2\approx11{,}31}. \]
Как выбрать теорему
- Даны две стороны и угол между ними → теорема косинусов.
- Даны три стороны → теорема косинусов.
- Известна пара сторона и противоположный угол → теорема синусов.
- После нахождения углов обязательно проверь:
\[ A+B+C=180^\circ. \]
Главное: сторона \(a\) всегда лежит напротив угла \(A\), сторона \(b\) — напротив \(B\), сторона \(c\) — напротив \(C\).
