Реши задание на изображении
Краткий ответ:
- функция убывает на \((-\infty;1)\) и \((16;+\infty)\);
- функция возрастает на \((1;16)\).
Решение
Найдём производную:
\[ f(x)=-2x^3+51x^2-96x-3, \]
\[ f'(x)=-6x^2+102x-96. \]
Вынесем \(-6\):
\[ f'(x)=-6(x^2-17x+16)=-6(x-1)(x-16). \]
Критические точки:
\[ f'(x)=0 \iff x=1 \quad \text{или} \quad x=16. \]
Определим знак производной:
- при \(x<1\): \(f'(x)<0\), функция убывает;
- при \(1<x<16\): \(f'(x)>0\), функция возрастает;
- при \(x>16\): \(f'(x)<0\), функция убывает.
Следовательно,
\[ \boxed{f(x)\text{ убывает на }(-\infty;1)\text{ и }(16;+\infty)} \]
\[ \boxed{f(x)\text{ возрастает на }(1;16)}. \]
Проверка: знаки производной меняются так:
\[ -\quad 0\quad +\quad 0\quad -, \]
что подтверждает найденные промежутки.
Обсуждение
4 сообщенияКак находить производную?
Производную многочлена находят по каждому слагаемому отдельно.
Основные правила:
\[ (x^n)'=n x^{n-1}, \]
\[ (c\cdot x^n)'=c\cdot n x^{n-1}, \]
\[ (c)'=0, \]
где \(c\) — постоянное число.
Для функции из задания:
\[ f(x)=-2x^3+51x^2-96x-3. \]
Берём производную каждого слагаемого:
\[ (-2x^3)'=-2\cdot3x^2=-6x^2, \]
\[ (51x^2)'=51\cdot2x=102x, \]
\[ (-96x)'=-96, \]
\[ (-3)'=0. \]
Поэтому
\[ \boxed{f'(x)=-6x^2+102x-96}. \]
Например, производная \(7x^4\) равна:
\[ (7x^4)'=7\cdot4x^3=28x^3. \]
Что значит критические точки и как их находить?
Критические точки — это значения \(x\), в которых:
- производная равна нулю: \[ f'(x)=0; \]
- или производная не существует, хотя сама функция определена.
Они нужны, чтобы исследовать, где функция может менять характер возрастания и убывания.
На примере нашей функции
\[ f(x)=-2x^3+51x^2-96x-3. \]
Мы уже нашли производную:
\[ f'(x)=-6x^2+102x-96. \]
Приравниваем её к нулю:
\[ -6x^2+102x-96=0. \]
Вынесем \(-6\):
\[ -6(x^2-17x+16)=0. \]
Разложим квадратный трёхчлен:
\[ -6(x-1)(x-16)=0. \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-1=0 \quad \text{или} \quad x-16=0. \]
Отсюда:
\[ \boxed{x_1=1,\qquad x_2=16}. \]
Это критические значения аргумента. Именно их отмечают на числовой прямой и проверяют знаки производной на получившихся промежутках.
Если нужны координаты критических точек графика:
\[ f(1)=-50,\qquad f(16)=3325, \]
поэтому точки графика:
\[ \boxed{(1;-50)\text{ и }(16;3325)}. \]
Важно: критическая точка не всегда является максимумом или минимумом. Это только место, которое нужно проверить по знакам производной.
