480

Краткий ответ:
\(ABCD\) — параллелограмм, потому что его противоположные стороны попарно равны. Затем докажем, что \(MN=PQ\) и \(NP=MQ\); значит, \(MNPQ\) тоже параллелограмм.

1. Докажем, что \(ABCD\) — параллелограмм

Разобьём стороны на части:

\[ AB=AM+MB=CP+PD=CD, \]

так как \(AM=CP\) и \(BM=DP\).

Аналогично:

\[ BC=BN+NC=DQ+QA=DA, \]

так как \(BN=DQ\) и \(NC=QA\).

Получили:

\[ AB=CD,\qquad BC=DA. \]

Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм.

2. Докажем, что \(MNPQ\) — параллелограмм

Так как \(ABCD\) — параллелограмм, его противоположные углы равны:

\[ \angle ABC=\angle CDA. \]

Поскольку \(M\in AB,\ N\in BC,\ P\in CD,\ Q\in DA\), то

\[ \angle MBN=\angle PDQ. \]

Кроме того,

\[ BM=DP,\qquad BN=DQ. \]

Значит,

\[ \triangle MBN=\triangle PDQ \]

по двум сторонам и углу между ними. Поэтому

\[ MN=PQ. \]

Теперь рассмотрим треугольники \(NCP\) и \(QAM\). Имеем:

\[ NC=QA,\qquad CP=AM, \]

а также

\[ \angle NCP=\angle QAM, \]

поскольку это противоположные углы параллелограмма \(ABCD\). Следовательно,

\[ \triangle NCP=\triangle QAM, \]

откуда

\[ NP=QM. \]

Таким образом, в четырёхугольнике \(MNPQ\):

\[ MN=PQ,\qquad NP=QM. \]

Его противоположные стороны попарно равны, поэтому \(MNPQ\) — параллелограмм.

Проверка: доказаны равенства противоположных сторон обоих четырёхугольников.