реши с пояснениями

а) \(f(x)=(-2x-13)e^{4x+1}\)

Найдём производную по правилу произведения:

\[ f'(x)=(-2)e^{4x+1}+(-2x-13)\cdot 4e^{4x+1}. \]

Вынесем \(e^{4x+1}\):

\[ f'(x)=e^{4x+1}\bigl(-2+4(-2x-13)\bigr) =-e^{4x+1}(8x+54). \]

Поскольку \(e^{4x+1}>0\), приравниваем к нулю только скобки:

\[ 8x+54=0, \qquad x=-\frac{54}{8}=-\frac{27}{4}. \]

При \(x<-\frac{27}{4}\) функция возрастает, а при \(x>-\frac{27}{4}\) убывает. Значит, это точка максимума:

\[ \boxed{x_{\max}=-\frac{27}{4}}. \]

Если нужна координата точки на графике:

\[ f\left(-\frac{27}{4}\right)=\frac12e^{-26}, \]

поэтому точка максимума:

\[ \boxed{\left(-\frac{27}{4};\frac{e^{-26}}2\right)}. \]

б) \(\displaystyle f(x)=-2\ln\bigl((-8x+6)^{-7}\bigr)+8x+3\)

Область определения:

\[ -8x+6>0 \quad\Rightarrow\quad x<\frac34. \]

Используем свойство логарифма:

\[ \ln\bigl((-8x+6)^{-7}\bigr) =-7\ln(-8x+6). \]

Тогда

\[ f(x)=14\ln(-8x+6)+8x+3. \]

Находим производную:

\[ f'(x)=14\cdot\frac{-8}{-8x+6}+8 =-\frac{112}{-8x+6}+8. \]

Приравниваем к нулю:

\[ -\frac{112}{-8x+6}+8=0, \]

\[ 8(-8x+6)=112, \]

\[ -64x+48=112, \]

\[ -64x=64, \qquad x=-1. \]

До точки \(x=-1\) функция возрастает, после неё — убывает. Следовательно,

\[ \boxed{x_{\max}=-1}. \]

Координата точки максимума:

\[ f(-1)=-2\ln(14^{-7})-8+3 =14\ln14-5. \]

\[ \boxed{(-1;\,14\ln14-5)}. \]

Ответы для полей:

\[ \boxed{-\frac{27}{4}} \qquad\text{и}\qquad \boxed{-1}. \]

а) \(\displaystyle f(x)=10-9x+2x\sqrt{x}\)

Область определения:

\[ x\ge 0. \]

Представим последний член как степень:

\[ 2x\sqrt{x}=2x^{3/2}. \]

Находим производную:

\[ f'(x)=-9+3\sqrt{x}. \]

Приравняем производную к нулю:

\[ -9+3\sqrt{x}=0, \]

\[ 3\sqrt{x}=9, \qquad \sqrt{x}=3, \qquad x=9. \]

При \(0<x<9\) производная отрицательна, а при \(x>9\) — положительна. Значит, в точке \(x=9\) функция меняет убывание на возрастание, поэтому это точка минимума.

\[ \boxed{x_{\min}=9} \]

Значение функции:

\[ f(9)=10-9\cdot9+2\cdot9\cdot3=-17. \]

Координаты точки минимума:

\[ \boxed{(9;\,-17)}. \]

б) \(\displaystyle f(x)=\frac12x^4+5x^3\)

Найдём производную:

\[ f'(x)=2x^3+15x^2. \]

Вынесем общий множитель:

\[ f'(x)=x^2(2x+15). \]

Приравняем производную к нулю:

\[ x^2(2x+15)=0. \]

Отсюда:

\[ x=0 \quad\text{или}\quad 2x+15=0, \]

\[ x=-\frac{15}{2}. \]

Знак производной определяется выражением \(2x+15\), так как \(x^2\ge0\):

• при \(x<-\frac{15}{2}\) функция убывает;
• при \(x>-\frac{15}{2}\) функция возрастает.

Следовательно, точка минимума:

\[ \boxed{x_{\min}=-\frac{15}{2}}. \]

Значение функции в этой точке:

\[ f\left(-\frac{15}{2}\right) =-\frac{16875}{32}. \]

Координаты точки минимума:

\[ \boxed{\left(-\frac{15}{2};-\frac{16875}{32}\right)}. \]

В поля нужно вписать:

\[ \boxed{9} \qquad\text{и}\qquad \boxed{-\frac{15}{2}}. \]

а) \(\displaystyle f(x)=10-9x+2x\sqrt{x}\)

Область определения:

\[ x\ge 0. \]

Представим \(2x\sqrt{x}\) как \(2x^{3/2}\). Тогда

\[ f'(x)=-9+3\sqrt{x}. \]

Найдём критическую точку:

\[ -9+3\sqrt{x}=0 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{x}=3 \quad\Rightarrow\quad x=9. \]

При \(0\le x<9\) функция убывает, а при \(x>9\) возрастает. Значит, минимум достигается при

\[ \boxed{x=9}. \]

б) \(\displaystyle f(x)=\frac12x^4+5x^3\)

Найдём производную:

\[ f'(x)=2x^3+15x^2=x^2(2x+15). \]

Приравняем её к нулю:

\[ x^2(2x+15)=0. \]

Отсюда:

\[ x=0 \quad\text{или}\quad x=-\frac{15}{2}. \]

Знак производной меняется с «−» на «+» при

\[ x=-\frac{15}{2}, \]

поэтому в этой точке функция имеет минимум. В точке \(x=0\) смены знака нет.

\[ \boxed{x=-\frac{15}{2}}. \]

Ответ для полей:

\[ \boxed{9;\quad -\frac{15}{2}} \]

Функция \(f(x)\) имеет максимум там, где её производная \(f'(x)\):

• была положительной (\(f\) возрастала),
• а затем стала отрицательной (\(f\) начала убывать).

На графике \(f'(x)\) это переходы через ось \(Ox\) сверху вниз. На отрезке \([-10;11]\) таких переходов 4.

\[ \boxed{4} \]

Производная положительна в тех точках, где график функции возрастает слева направо.

На рисунке график возрастает:

• на левом подъёме — в 1 отмеченной точке;
• перед большим максимумом — в 3 отмеченных точках;
• после маленького минимума справа — в 1 отмеченной точке.

Всего:

\[ 1+3+1=\boxed{5}. \]

Ответ: \(\boxed{5}\).