Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. \(1290\) кв. ед.
2. \(\tg \angle B=\dfrac{5}{12}\)
3. \(TP=\dfrac{140}{3}=46\dfrac{2}{3}\)
4. \(\angle ABO=21^\circ\)
5. Верные утверждения: 5, 7, 10.

Решение

1. Площадь треугольника

Основание всего треугольника:

\[ 32+11=43. \]

Отрезок длиной \(60\) является высотой. Это подтверждается теоремой Пифагора:

\[ 32^2+60^2=68^2,\qquad 11^2+60^2=61^2. \]

Тогда

\[ S=\frac12\cdot 43\cdot 60=1290. \]

Ответ: \(1290\) кв. ед.

---

2. Найдём \(\tg \angle B\)

Треугольник прямоугольный, \(AB=13\) — гипотенуза, \(BC=12\).

По теореме Пифагора:

\[ AC=\sqrt{AB^2-BC^2} =\sqrt{13^2-12^2} =\sqrt{169-144}=5. \]

Для угла \(B\):

\[ \tg B=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} =\frac{AC}{BC}=\frac{5}{12}. \]

Ответ: \(\dfrac{5}{12}\).

---

3. Подобие треугольников

Так как \(MN\parallel KP\), то

\[ \triangle TMN\sim\triangle TKP. \]

Соответствующие стороны пропорциональны:

\[ \frac{MN}{KP}=\frac{TN}{TP}. \]

Подставим данные:

\[ \frac{12}{35}=\frac{16}{TP}. \]

Отсюда

\[ 12TP=35\cdot16=560, \]

\[ TP=\frac{560}{12}=\frac{140}{3}=46\dfrac23. \]

Проверка: \(TP>TN\), то есть \(46\dfrac23>16\), что соответствует рисунку.

Ответ: \(46\dfrac23\).

---

4. Угол \(ABO\)

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной:

\[ OA\perp CA,\qquad OB\perp CB. \]

Значит, углы при \(A\) и \(B\) в четырёхугольнике \(AOCB\) равны \(90^\circ\). Тогда

\[ \angle AOB=360^\circ-90^\circ-90^\circ-42^\circ=138^\circ. \]

Так как \(OA=OB\), треугольник \(AOB\) равнобедренный:

\[ \angle ABO=\frac{180^\circ-138^\circ}{2}=21^\circ. \]

Ответ: \(21^\circ\).

---

5. Верность утверждений

1. Неверно: центр описанной окружности может находиться вне тупоугольного треугольника.
2. Неверно: радиус перпендикулярен касательной.
3. Неверно: диагонали параллелограмма не всегда равны.
4. Неверно: площадь равна половине произведения диагоналей только в особых случаях, например в ромбе.
5. Верно: диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам.
6. Неверно: у равнобедренной трапеции равны боковые стороны, а не основания.
7. Верно: в любой ромб можно вписать окружность.
8. Неверно: равнобедренные треугольники могут иметь разные углы.
9. Неверно:

\[ S=\frac12 ab, \]

а не \(ab\).
10. Верно: расстояние от центра окружности до любой точки окружности равно радиусу.

Ответ: 5, 7, 10.