реши мне номер 280
Интерпретация неравенств
Мне нужно предоставить ответы на русском языке, решив задание 280, охватив все подпункты (а–д) и приведя краткие объяснения с ключевыми шагами. Для пункта а я проанализирую неравенства:
Сначала для \( x^2 - 2x - 8 < 0 \) корни равны \( x = -2 \) и \( x = 4 \), поэтому получаем интервал \( (-2, 4) \). Для \( x^2 - 9 < 0 \) корни равны \( -3 \) и \( 3 \), что даёт пересечение \( (-2, 3) \).
Для пункта б я проверю корни неравенства \( 2x^2 - 13x + 6 < 0 \), получив соответствующие интервалы. Я внимательно вычисляю каждый шаг.
Нахождение пересечений неравенств
Здесь я анализирую пересечение интервалов. Для пункта в корни \( x^2 - 6x - 16 \) равны \( -2 \) и \( 8 \). Это означает, что неравенство выполняется вне интервалов \( (-\infty, -2) \) и \( (8, \infty) \), без включения концов.
Далее корни \( x^2 + 2x - 120 \) равны \( -12 \) и \( 10 \), поэтому решение имеет вид \( (-12, 10) \).
Мне нужно определить пересечения с предыдущими результатами, чтобы правильно объединить интервалы.
Проверка результата
Я размышляю над тем, как подойти к процессу проверки результата, упомянутому в разделе «Проверка результата». В каждом пункте следует показывать пересечение с включением границ только для случаев \( \leq/\geq \). Можно также привести пробные значения, хотя это не является обязательным. Небольшая таблица проверки тоже может быть полезной. Она поможет показать подстановкой внутренних точек, что каждый интервал удовлетворяет условиям. Но нужно ли проверять все шесть интервалов? Сохраним эту учебную направленность.
Краткий ответ:
а) \(x\in(-2;3)\);
б) \(x\in(4;6)\);
в) \(x\in(-12;-2)\cup(8;10)\);
г) \(x\in\left[-1;\dfrac23\right]\);
д) \(x\in[1;8]\);
е) решений нет: \(\varnothing\).
Решение
При решении системы нужно найти пересечение решений всех неравенств.
а)
\[ x^2-2x-8=(x-4)(x+2)<0 \]
\[ x\in(-2;4). \]
\[ x^2-9=(x-3)(x+3)<0 \]
\[ x\in(-3;3). \]
Пересечение:
\[ \boxed{x\in(-2;3)}. \]
б)
\[ 2x^2-13x+6=(2x-1)(x-6)<0 \]
\[ x\in\left(\frac12;6\right). \]
\[ x^2-4x=x(x-4)>0 \]
\[ x\in(-\infty;0)\cup(4;+\infty). \]
Пересечение:
\[ \boxed{x\in(4;6)}. \]
в)
\[ x^2-6x-16=(x-8)(x+2)>0 \]
\[ x\in(-\infty;-2)\cup(8;+\infty). \]
\[ x^2+2x-120=(x+12)(x-10)<0 \]
\[ x\in(-12;10). \]
Пересечение:
\[ \boxed{x\in(-12;-2)\cup(8;10)}. \]
г)
\[ 3x^2+x-2=(3x-2)(x+1)\le 0 \]
\[ x\in\left[-1;\frac23\right]. \]
\[ x^2+4x-12=(x+6)(x-2)\le 0 \]
\[ x\in[-6;2]. \]
Пересечение:
\[ \boxed{x\in\left[-1;\frac23\right]}. \]
д)
\[ D=4^2-4\cdot2\cdot15=-104<0. \]
Так как старший коэффициент положительный,
\[ 2x^2+4x+15>0 \]
при всех \(x\), поэтому первое неравенство ограничений не даёт.
\[ x^2-9x+8=(x-1)(x-8)\le0 \]
\[ x\in[1;8]. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in[1;8]}. \]
е)
\[ 2x^2+5x-3=(2x-1)(x+3)<0 \]
\[ x\in\left(-3;\frac12\right). \]
Для второго неравенства:
\[ D=1^2-4\cdot3\cdot11=-131<0. \]
При положительном старшем коэффициенте
\[ 3x^2+x+11>0 \]
для всех \(x\), поэтому неравенство
\[ 3x^2+x+11<0 \]
решений не имеет. Следовательно, вся система не имеет решений:
\[ \boxed{\varnothing}. \]
Границы в ответах включены только для неравенств со знаками \(\le\) или \(\ge\).
