Пиши мне номер 280 и поводу числовою прямую
№ 280. Ответ:
а) \(\boxed{x\in(-2;3)}\)
б) \(\boxed{x\in(4;6)}\)
в) \(\boxed{x\in(-12;-2)\cup(8;10)}\)
г) \(\boxed{x\in\left[-1;\frac23\right]}\)
д) \(\boxed{x\in\varnothing}\)
е) \(\boxed{x\in\varnothing}\)
На числовой прямой: \(○\) — конец не входит, \(●\) — входит.
а) −2 ○════════════○ 3
б) 4 ○════════════○ 6
в) −12 ○════○ −2 8 ○════○ 10
г) −1 ●════════════● 2/3
д), е) решений нет: ∅
Решение
а)
\[ x^2-2x-8=(x-4)(x+2)<0 \]
\[ x\in(-2;4). \]
\[ x^2-9=(x-3)(x+3)<0 \]
\[ x\in(-3;3). \]
Пересекаем промежутки:
\[ (-2;4)\cap(-3;3)=(-2;3). \]
б)
\[ 2x^2-13x+6=(2x-1)(x-6)<0 \]
\[ x\in\left(\frac12;6\right). \]
\[ x^2-4x=x(x-4)>0 \]
\[ x\in(-\infty;0)\cup(4;+\infty). \]
Пересечение:
\[ \left(\frac12;6\right)\cap\bigl((-\infty;0)\cup(4;+\infty)\bigr)=(4;6). \]
в)
\[ x^2-6x-16=(x+2)(x-8)>0 \]
\[ x\in(-\infty;-2)\cup(8;+\infty). \]
\[ x^2+2x-120=(x+12)(x-10)<0 \]
\[ x\in(-12;10). \]
Пересечение:
\[ x\in(-12;-2)\cup(8;10). \]
г)
\[ 3x^2+x-2=(3x-2)(x+1)\le 0 \]
\[ x\in\left[-1;\frac23\right]. \]
\[ x^2+4x-12=(x+6)(x-2)\le 0 \]
\[ x\in[-6;2]. \]
Пересечение:
\[ \left[-1;\frac23\right]\cap[-6;2] =\left[-1;\frac23\right]. \]
д)
\[ 2x^2+4x+15\ge0. \]
Дискриминант:
\[ D=4^2-4\cdot2\cdot15=-104<0, \]
а коэффициент при \(x^2\) положительный, поэтому первое неравенство выполняется при всех \(x\).
Второе неравенство:
\[ x^2-9x+8=(x-1)(x-8)\le0 \]
даёт \(x\in[1;8]\). Поэтому система имеет решения:
\[ \boxed{x\in[1;8]}. \]
Исправление: на числовой прямой для пункта д) нужно отметить отрезок \([1;8]\).
е)
\[ 2x^2+5x-3=(2x-1)(x+3)<0 \]
\[ x\in\left(-3;\frac12\right). \]
Для второго неравенства:
\[ D=1^2-4\cdot3\cdot11=-131<0. \]
Так как коэффициент при \(x^2\) положительный,
\[ 3x^2+x+11>0 \]
при всех \(x\). Неравенство \(3x^2+x+11<0\) решений не имеет.
Значит, вся система также решений не имеет.
Проверка: в системе берётся пересечение решений двух неравенств. Например, в пункте б) число \(x=5\) подходит: оба неравенства выполняются, а \(x=1\) не подходит, потому что \(x^2-4x<0\).
