Симметричный монету бросают 3 раза. Рассмотрите события "в первый раз выпал орёл" и "решка выпала дважды". а) Являются ли эти события независимыми? б) Найдите вероятность объединения этих событий.

Краткий ответ:
а) Нет, события зависимы.
б) Вероятность их объединения равна \(\boxed{\frac34}\).

Понимаем «решка выпала дважды» как ровно два раза.

Обозначим:

• \(A\) — в первый раз выпал орёл;
• \(B\) — решка выпала ровно дважды.

Всего при трёх бросках есть \(2^3=8\) равновероятных исходов.

\[ P(A)=\frac{4}{8}=\frac12 \]

Событию \(B\) соответствуют исходы:

\[ ОРР,\quad РОР,\quad РРО, \]

поэтому

\[ P(B)=\frac38. \]

Оба события происходят одновременно только в случае \(ОРР\):

\[ P(A\cap B)=\frac18. \]

Проверим независимость:

\[ P(A)P(B)=\frac12\cdot\frac38=\frac{3}{16}. \]

Так как

\[ \frac18\ne\frac{3}{16}, \]

события не являются независимыми.

Вероятность объединения:

\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]

\[ P(A\cup B)=\frac12+\frac38-\frac18 =\frac48+\frac38-\frac18 =\boxed{\frac34}. \]