Реши задание на изображении

Краткий ответ

Действительные корни:

1. \(x^2-8x+7=0\):
   \[ x_1=1,\quad x_2=7. \]

2. \(x^3+7x-8=0\):
   \[ x=1. \]

3. \(x^4+2x^3-3x=0\):
   \[ x=0,\quad x=1. \]

Решение

1) Разложим на множители:

\[ x^2-8x+7=(x-1)(x-7). \]

Тогда:

\[ (x-1)(x-7)=0, \]

\[ x=1 \quad \text{или} \quad x=7. \]

Проверка: \(1-8+7=0\), \(49-56+7=0\).

2) Проверим простой целый корень \(x=1\):

\[ 1^3+7\cdot1-8=1+7-8=0. \]

Значит, \(x-1\) — множитель:

\[ x^3+7x-8=(x-1)(x^2+x+8). \]

Квадратный трёхчлен \(x^2+x+8\) действительных корней не имеет, так как

\[ D=1^2-4\cdot1\cdot8=-31<0. \]

Следовательно,

\[ x=1. \]

3) Вынесем \(x\) за скобки:

\[ x^4+2x^3-3x=x(x^3+2x^2-3). \]

Получаем:

\[ x(x^3+2x^2-3)=0. \]

Отсюда \(x=0\) или решаем кубическое уравнение. Проверим \(x=1\):

\[ 1+2-3=0. \]

Тогда:

\[ x^3+2x^2-3=(x-1)(x^2+3x+3). \]

У квадратного трёхчлена:

\[ D=3^2-4\cdot1\cdot3=-3<0. \]

Значит, действительные корни:

\[ x=0,\quad x=1. \]

Принцип: сначала вынеси общий множитель, затем попробуй простые целые корни \(1,-1,2,-2\) и разложи многочлен на множители.