Реши задание на изображении
Краткий ответ
Обозначим \[ \vec a=\overrightarrow{AB},\qquad \vec f=\overrightarrow{AF}. \]
1
Для правильного шестиугольника: \[ \overrightarrow{BC}=\vec a+\vec f,\qquad \overrightarrow{CD}=\vec f, \] \[ \overrightarrow{DE}=-\vec a,\qquad \overrightarrow{EF}=-(\vec a+\vec f). \]
Если в условии действительно указан вектор \(\overrightarrow{DF}\), то \[ \boxed{\overrightarrow{DF}=-2\vec a-\vec f}. \]
2
\[ \boxed{\overrightarrow{EF}= \frac12\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\right)}. \]
3
Пусть \[ \vec a=\overrightarrow{AB},\quad \vec b=\overrightarrow{AC},\quad \vec c=\overrightarrow{AD}. \] Тогда \[ \boxed{\overrightarrow{BC}=\vec b-\vec a}, \qquad \boxed{\overrightarrow{BD}=\vec c-\vec a}, \qquad \boxed{\overrightarrow{CD}=\vec c-\vec b}, \] \[ \boxed{\overrightarrow{DM}= \frac12(\vec a+\vec b)-\vec c}, \] \[ \boxed{\overrightarrow{AQ}= \frac13(\vec a+\vec b+\vec c)}. \]
4
Вектор, направленный по внутренней биссектрисе угла \(AOB\): \[ \boxed{\overrightarrow{OM}= \frac{\vec d}{\|\vec d\|} + \frac{\vec b}{\|\vec b\|}}. \] Вообще можно взять любой положительный множитель: \[ \overrightarrow{OM} =\lambda\left( \frac{\vec d}{\|\vec d\|} +\frac{\vec b}{\|\vec b\|} \right),\qquad \lambda>0. \]
Ключевые шаги
1. Правильный шестиугольник
У противоположно направленных равных сторон: \[ \overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{EF}=-\overrightarrow{BC}. \]
Кроме того, \[ \overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF}, \qquad \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AF}. \]
Поэтому \[ \overrightarrow{DF} =\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF} =-\vec a-(\vec a+\vec f) =-2\vec a-\vec f. \]
2. Середины отрезков
Пусть \(O\) — произвольная точка. Так как \(E\) и \(F\) — середины: \[ \overrightarrow{OE} =\frac12\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right), \] \[ \overrightarrow{OF} =\frac12\left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right). \]
Тогда \[ \begin{aligned} \overrightarrow{EF} &=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE}\\ &=\frac12\left( \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA} \right)\\ &=\frac12\left( \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD} \right). \end{aligned} \]
3. Тетраэдр
Используем правило: \[ \overrightarrow{XY} =\overrightarrow{AY}-\overrightarrow{AX}. \]
Например: \[ \overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} =\vec b-\vec a. \]
Точка \(M\) — середина \(BC\), поэтому \[ \overrightarrow{AM} =\frac12(\vec a+\vec b). \] Следовательно, \[ \overrightarrow{DM} =\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AD} =\frac12(\vec a+\vec b)-\vec c. \]
Точка \(Q\) — центр тяжести треугольника \(BCD\), поэтому её радиус-вектор равен среднему арифметическому радиус-векторов вершин: \[ \overrightarrow{AQ} =\frac13(\vec a+\vec b+\vec c). \]
4. Биссектриса
Сначала заменяем данные векторы единичными: \[ \vec u=\frac{\vec d}{\|\vec d\|}, \qquad \vec v=\frac{\vec b}{\|\vec b\|}. \]
Они имеют одинаковую длину \(1\), поэтому диагональ параллелограмма с этими сторонами: \[ \vec u+\vec v \] направлена по биссектрисе угла между ними.
Обсуждение
4 сообщенияНу че?
Пришли изображение ещё раз, пожалуйста: сейчас оно не отображается.
Это продолжение текущей учебной задачи: ты прислал запрошенное изображение. Решу все 4 пункта.
1
Обозначим
\[ \vec a=\overrightarrow{AB},\qquad \vec f=\overrightarrow{AF}. \]
Для правильного шестиугольника:
\[ \overrightarrow{BC}=\vec a+\vec f, \]
\[ \overrightarrow{CD}=\vec f, \]
\[ \overrightarrow{EF}=-(\vec a+\vec f). \]
На изображении третий вектор читается как \(\overrightarrow{DF}\). Тогда
\[ \overrightarrow{DF} =\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF} =-\vec a-(\vec a+\vec f) =-2\vec a-\vec f. \]
Итак,
\[ \boxed{\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF}}, \]
\[ \boxed{\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AF}}, \]
\[ \boxed{\overrightarrow{DF}=-2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AF}}, \]
\[ \boxed{\overrightarrow{EF}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AF}}. \]
Замечание: \(DF\) не является стороной шестиугольника. Если в условии имелось в виду \(\overrightarrow{DE}\), то
\[ \boxed{\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{AB}}. \]
2
Так как \(E\) — середина \(AB\), а \(F\) — середина \(CD\), то относительно произвольной точки \(O\):
\[ \overrightarrow{OE} =\frac12\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right), \]
\[ \overrightarrow{OF} =\frac12\left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right). \]
Тогда
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{EF} &=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE}\\ &=\frac12\left( \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD} -\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB} \right)\\ &=\frac12\left[ (\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}) +(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}) \right]\\ &=\frac12\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\right). \end{aligned} \]
Следовательно,
\[ \boxed{\overrightarrow{EF} =\frac12\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\right)}. \]
3
Обозначим
\[ \vec x=\overrightarrow{AB},\qquad \vec y=\overrightarrow{AC},\qquad \vec z=\overrightarrow{AD}. \]
Остальные рёбра
\[ \overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} =\vec y-\vec x, \]
\[ \overrightarrow{BD} =\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB} =\vec z-\vec x, \]
\[ \overrightarrow{CD} =\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC} =\vec z-\vec y. \]
То есть
\[ \boxed{\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}}, \]
\[ \boxed{\overrightarrow{BD} =\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}}, \]
\[ \boxed{\overrightarrow{CD} =\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}}. \]
Медиана \(DM\)
Точка \(M\) — середина \(BC\), поэтому
\[ \overrightarrow{AM} =\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right). \]
Следовательно,
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{DM} &=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AD}\\ &=\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right) -\overrightarrow{AD}. \end{aligned} \]
\[ \boxed{\overrightarrow{DM} =\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right) -\overrightarrow{AD}}. \]
Вектор \(\overrightarrow{AQ}\)
Точка \(Q\) — точка пересечения медиан треугольника \(BCD\), то есть его центр тяжести. Поэтому
\[ \overrightarrow{AQ} =\frac13\left( \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{AD} \right). \]
\[ \boxed{\overrightarrow{AQ} =\frac13\left( \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AC} +\overrightarrow{AD} \right)}. \]
4
Даны:
\[ \overrightarrow{OA}=\vec d,\qquad \overrightarrow{OB}=\vec b. \]
Для построения внутренней биссектрисы нужно сложить единичные векторы этих направлений:
\[ \boxed{ \overrightarrow{OM} = \frac{\vec d}{\|\vec d\|} + \frac{\vec b}{\|\vec b\|} }. \]
Любой положительный множитель этого вектора также задаёт направление биссектрисы:
\[ \overrightarrow{OM} =\lambda\left( \frac{\vec d}{\|\vec d\|} + \frac{\vec b}{\|\vec b\|} \right), \qquad \lambda>0. \]
