(2х-4)(5-х)>=0
Краткий ответ:
\[
x\in[2;5].
\]
Решение:
Найдём нули множителей:
\[ 2x-4=0 \Rightarrow x=2, \] \[ 5-x=0 \Rightarrow x=5. \]
Эти точки делят числовую прямую на интервалы:
- при \(x<2\): произведение отрицательно;
- при \(2<x<5\): оба множителя положительны, произведение положительно;
- при \(x>5\): произведение отрицательно.
Так как требуется \(\ge 0\), точки \(2\) и \(5\) включаем:
\[ \boxed{x\in[2;5]}. \]
Проверка: при \(x=3\)
\[ (2\cdot3-4)(5-3)=2\cdot2=4\ge0. \]
Обсуждение
6 сообщенийОбъясни метод интервалов на похожем примере
Метод интервалов помогает определить знак произведения, не раскрывая скобки.
Пример
Решим неравенство:
\[ (x-3)(x+1)\le 0. \]
1. Найдём нули множителей
\[ x-3=0 \Rightarrow x=3, \] \[ x+1=0 \Rightarrow x=-1. \]
Отметим точки \(-1\) и \(3\) на числовой прямой. Они делят её на три интервала:
\[ (-\infty;-1),\quad (-1;3),\quad (3;+\infty). \]
2. Определим знаки на интервалах
| Интервал | \(x-3\) | \(x+1\) | Произведение |
|---|---|---|---|
| \(x<-1\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(-1<x<3\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
| \(x>3\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
3. Выберем подходящие интервалы
Нужно, чтобы произведение было меньше или равно нулю:
\[ (x-3)(x+1)\le0. \]
Подходит участок, где произведение отрицательно, а также точки, в которых оно равно нулю:
\[ \boxed{x\in[-1;3]}. \]
Точки включены, потому что знак \(\le\) разрешает равенство нулю.
Алгоритм: найти нули множителей → отметить их → определить знаки на интервалах → выбрать нужные интервалы → учесть концы.
Какие будут точки закращеные или пустые?
В примере
\[ (x-3)(x+1)\le 0 \]
точки \(x=-1\) и \(x=3\) будут закрашенными:
\[ \boxed{[-1;3]} \]
На числовой прямой:
\[ -1\ \mathbf{\bullet}\; \rule{2cm}{0.4pt}\; \mathbf{\bullet}\ 3 \]
Почему? При \(x=-1\) или \(x=3\) произведение равно нулю, а знак \(\le\) разрешает ноль.
- \(\le\) или \(\ge\) — точки закрашенные;
- \(<\) или \(>\) — точки пустые.
+×-=
\[ +\times- = - \]
При умножении чисел с разными знаками получается минус.
