Реши задание на изображении

Краткий ответ: \[ \boxed{ \begin{pmatrix} 4&3&-3\\ 2&3&-2\\ 4&4&-3 \end{pmatrix}^{6} = \begin{pmatrix} 190&189&-189\\ 126&127&-126\\ 252&252&-251 \end{pmatrix}} \]

Обозначим матрицы из данного разложения: \[ A=PDP^{-1}, \] где \[ P= \begin{pmatrix} 1&3&1\\ 2&2&1\\ 3&4&2 \end{pmatrix},\qquad D= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}, \] а последняя матрица на изображении является \(P^{-1}\), поскольку \[ P\cdot P^{-1}=E. \]

Тогда степень матрицы вычисляется проще: \[ A^6=(PDP^{-1})^6=PD^6P^{-1}. \]

Диагональную матрицу возводим в степень поэлементно: \[ D^6= \begin{pmatrix} 1^6&0&0\\ 0&2^6&0\\ 0&0&1^6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&64&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}. \]

Перемножаем: \[ PD^6= \begin{pmatrix} 1&192&1\\ 2&128&1\\ 3&256&2 \end{pmatrix}. \]

Теперь: \[ \begin{pmatrix} 1&192&1\\ 2&128&1\\ 3&256&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&2&-1\\ 1&1&-1\\ -2&-5&4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 190&189&-189\\ 126&127&-126\\ 252&252&-251 \end{pmatrix}. \]

Проверка принципа: при таком разложении достаточно возвести в степень только диагональную матрицу \(D\), потому что соседние множители \(P^{-1}P\) сокращаются до единичной матрицы.