Разложите на множители квадратный трёхчлен: а) 3x² − 24x + 21; б) 5x² + 10x − 15; в) 1/6x² + 1/2x + 1/3; г) x² − 12x + 20; д) −y² + 16y − 15; е) −x² − 8x + 9; ж) 2x² − 5x + 3; з) 5y² + 2y − 3; и) −2x² + 5x + 7.

Краткий ответ

а) \(3x^2-24x+21=3(x-1)(x-7)\);

б) \(5x^2+10x-15=5(x-1)(x+3)\);

в) \(\dfrac16x^2+\dfrac12x+\dfrac13=\dfrac16(x+1)(x+2)\);

г) \(x^2-12x+20=(x-2)(x-10)\);

д) \(-y^2+16y-15=-(y-1)(y-15)\);

е) \(-x^2-8x+9=-(x-1)(x+9)\);

ж) \(2x^2-5x+3=(2x-3)(x-1)\);

з) \(5y^2+2y-3=(5y-3)(y+1)\);

и) \(-2x^2+5x+7=-(2x-7)(x+1)\).

Ключевые шаги

Для трёхчлена \(x^2+px+q\) ищем два числа, сумма которых равна \(p\), а произведение — \(q\).

а) Выносим \(3\):

\[ 3x^2-24x+21=3(x^2-8x+7)=3(x-1)(x-7). \]

б) Выносим \(5\):

\[ 5x^2+10x-15=5(x^2+2x-3)=5(x-1)(x+3). \]

в) Выносим \(\dfrac16\):

\[ \frac16x^2+\frac12x+\frac13 =\frac16(x^2+3x+2) =\frac16(x+1)(x+2). \]

г) Числа \(-2\) и \(-10\) имеют сумму \(-12\), произведение \(20\):

\[ x^2-12x+20=(x-2)(x-10). \]

д) Сначала выносим знак «минус»:

\[ -y^2+16y-15=-(y^2-16y+15) =-(y-1)(y-15). \]

е)

\[ -x^2-8x+9=-(x^2+8x-9) =-(x-1)(x+9). \]

ж) Разложим средний член:

\[ \begin{aligned} 2x^2-5x+3 &=2x^2-2x-3x+3\\ &=2x(x-1)-3(x-1)\\ &=(2x-3)(x-1). \end{aligned} \]

з)

\[ \begin{aligned} 5y^2+2y-3 &=5y^2+5y-3y-3\\ &=5y(y+1)-3(y+1)\\ &=(5y-3)(y+1). \end{aligned} \]

и)

\[ \begin{aligned} -2x^2+5x+7 &=-(2x^2-5x-7)\\ &=-(2x^2-7x+2x-7)\\ &=-(x+1)(2x-7). \end{aligned} \]

Проверка выполняется раскрытием скобок: например,

\[ (2x-3)(x-1)=2x^2-2x-3x+3=2x^2-5x+3. \]