Реши задание на изображении

Пришли, пожалуйста, ещё раз изображение или перепиши условия 3.5 и 3.6 — сейчас их текст мне не виден.

Это продолжение текущего задания: на изображении указаны упражнения 3.5 и 3.6. Решим все подпункты.

3.5. Решите системы

1)

\[ \begin{cases} x^2+y^2+2xy=9,\\ x-y=1. \end{cases} \]

\[ (x+y)^2=9 \quad\Rightarrow\quad x+y=\pm3. \]

• \(x+y=3,\ x-y=1\Rightarrow x=2,\ y=1\);
• \(x+y=-3,\ x-y=1\Rightarrow x=-1,\ y=-2\).

Ответ: \[ (2;1),\quad (-1;-2). \]

---

2)

\[ \begin{cases} x^2+y^2-2xy=16,\\ x+y=-2. \end{cases} \]

\[ (x-y)^2=16\quad\Rightarrow\quad x-y=\pm4. \]

• \(x-y=4,\ x+y=-2\Rightarrow x=1,\ y=-3\);
• \(x-y=-4,\ x+y=-2\Rightarrow x=-3,\ y=1\).

Ответ: \[ (1;-3),\quad (-3;1). \]

---

3)

\[ \begin{cases} x^2+y^2+2xy=4,\\ x-y=4. \end{cases} \]

\[ (x+y)^2=4\quad\Rightarrow\quad x+y=\pm2. \]

• \(x+y=2,\ x-y=4\Rightarrow x=3,\ y=-1\);
• \(x+y=-2,\ x-y=4\Rightarrow x=1,\ y=-3\).

Ответ: \[ (3;-1),\quad (1;-3). \]

---

4)

\[ \begin{cases} xy+x+y=11,\\ xy(x+y)=30. \end{cases} \]

Обозначим: \[ s=x+y,\qquad p=xy. \]

Тогда \[ \begin{cases} p+s=11,\\ ps=30. \end{cases} \]

Получаем: \[ s(11-s)=30, \] \[ s^2-11s+30=0, \] \[ s=5\quad\text{или}\quad s=6. \]

1. \(s=5,\ p=6\): \[ x+y=5,\quad xy=6 \Rightarrow x,y=2,3. \]

2. \(s=6,\ p=5\): \[ x+y=6,\quad xy=5 \Rightarrow x,y=1,5. \]

Ответ: \[ (2;3),\quad (3;2),\quad (1;5),\quad (5;1). \]

---

5)

\[ \begin{cases} x^2-5y^2=-1,\\ 3xy+7y^2=1. \end{cases} \]

Из первого уравнения: \[ x^2=5y^2-1. \]

Из второго: \[ 3xy=1-7y^2. \]

Возведём это равенство в квадрат: \[ 9x^2y^2=(1-7y^2)^2. \]

Пусть \(z=y^2\). Тогда: \[ 9z(5z-1)=(1-7z)^2, \] \[ 4z^2-5z+1=0, \] \[ z=1\quad\text{или}\quad z=\frac14. \]

• При \(y^2=1\): \(x^2=4\), а \(xy=-2\), поэтому \[ (x,y)=(2;-1),\ (-2;1). \]

• При \(y^2=\frac14\): \(x^2=\frac14\), а \(xy=-\frac14\), поэтому \[ (x,y)=\left(\frac12;-\frac12\right),\ \left(-\frac12;\frac12\right). \]

Ответ: \[ (2;-1),\quad (-2;1),\quad \left(\frac12;-\frac12\right),\quad \left(-\frac12;\frac12\right). \]

---

6)

\[ \begin{cases} x^2-y^2=3,\\ x^3-y^3=7(x-y). \end{cases} \]

Разложим на множители: \[ (x-y)(x+y)=3, \] \[ (x-y)(x^2+xy+y^2)=7(x-y). \]

Так как \(x-y\neq0\), то: \[ x^2+xy+y^2=7. \]

Пусть \[ s=x+y,\qquad d=x-y. \]

Тогда: \[ sd=3, \] \[ \frac{3s^2+d^2}{4}=7 \quad\Rightarrow\quad 3s^2+d^2=28. \]

Так как \(d=\frac3s\), получаем: \[ 3s^2+\frac9{s^2}=28. \]

Пусть \(t=s^2\): \[ 3t^2-28t+9=0, \] \[ t=9\quad\text{или}\quad t=\frac13. \]

После нахождения \(x\) и \(y\):

Ответ: \[ (2;1),\quad (-2;-1),\quad \left(\frac{5\sqrt3}{3};-\frac{4\sqrt3}{3}\right),\quad \left(-\frac{5\sqrt3}{3};\frac{4\sqrt3}{3}\right). \]

---

3.6. Решите способом алгебраического сложения

1)

\[ \begin{cases} 2x^2+y^2=9,\\ y^2-x^2+3=0. \end{cases} \]

Второе уравнение: \[ x^2-y^2=3. \]

Тогда: \[ \begin{cases} 2x^2+y^2=9,\\ x^2-y^2=3. \end{cases} \]

Складываем: \[ 3x^2=12\Rightarrow x^2=4, \] \[ y^2=1. \]

Ответ: \[ (2;1),\ (2;-1),\ (-2;1),\ (-2;-1). \]

---

2)

\[ \begin{cases} 2x^2-y^2=1,\\ 2y^2-3x^2+1=0. \end{cases} \]

То есть: \[ \begin{cases} 2x^2-y^2=1,\\ -3x^2+2y^2=-1. \end{cases} \]

Решая систему относительно \(x^2\) и \(y^2\), получаем: \[ x^2=1,\qquad y^2=1. \]

Ответ: \[ (1;1),\ (1;-1),\ (-1;1),\ (-1;-1). \]

---

3)

\[ \begin{cases} 2x^2+xy=16,\\ 3x^2+xy=x+18. \end{cases} \]

Вычтем первое уравнение из второго: \[ x^2=x+2, \] \[ x^2-x-2=0, \] \[ (x-2)(x+1)=0. \]

Отсюда: \[ x=2\quad\text{или}\quad x=-1. \]

• При \(x=2\): \[ 8+2y=16\Rightarrow y=4. \]

• При \(x=-1\): \[ 2-y=16\Rightarrow y=-14. \]

Ответ: \[ (2;4),\quad (-1;-14). \]

---

4)

\[ \begin{cases} x^2-3y^2=x-6,\\ 3y^2-2x^2-4=0. \end{cases} \]

Второе уравнение: \[ 3y^2-2x^2=4. \]

Складываем уравнения: \[ -x^2=x-2, \] \[ x^2+x-2=0, \] \[ (x-1)(x+2)=0. \]

Отсюда: \[ x=1\quad\text{или}\quad x=-2. \]

• При \(x=1\): \[ 1-3y^2=-5\Rightarrow y^2=2, \] \[ y=\pm\sqrt2. \]

• При \(x=-2\): \[ 4-3y^2=-8\Rightarrow y^2=4, \] \[ y=\pm2. \]

Ответ: \[ (1;\sqrt2),\quad (1;-\sqrt2),\quad (-2;2),\quad (-2;-2). \]