Номер 59 (а)

Ответ: \(1\) при \(a\ne b\) и \(a\ne -b\).

\[ \left(\frac{2ab}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{2a+2b}\right) \cdot\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a} \]

Разложим знаменатели:

\[ a^2-b^2=(a-b)(a+b),\qquad 2a+2b=2(a+b). \]

Сначала упростим выражение в скобках:

\[ \frac{2ab}{(a-b)(a+b)}+\frac{a-b}{2(a+b)} \]

Приведём к общему знаменателю \(2(a-b)(a+b)\):

\[ \frac{4ab+(a-b)^2}{2(a-b)(a+b)} \]

Так как

\[ 4ab+(a-b)^2=4ab+a^2-2ab+b^2=(a+b)^2, \]

получаем:

\[ \frac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)} =\frac{a+b}{2(a-b)}. \]

Теперь умножим:

\[ \frac{a+b}{2(a-b)}\cdot\frac{2a}{a+b} =\frac{a}{a-b}. \]

Кроме того,

\[ \frac{b}{b-a}=-\frac{b}{a-b}. \]

Тогда всё выражение равно:

\[ \frac{a}{a-b}-\frac{b}{a-b} =\frac{a-b}{a-b}=1. \]

Проверка: результат \(1\) верен при \(a-b\ne0\) и \(a+b\ne0\), то есть при \(a\ne b\), \(a\ne -b\).