Номер 597
Краткий ответ:
- \((x,y)=(3;5)\);
- \((x,y)=(5;4)\);
- \((x,y)=(7;2)\);
- \((x,y)=(1;1)\).
Чтобы решить систему методом сложения, умножаем уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты одной переменной стали противоположными, затем складываем уравнения.
1)
\[ \begin{cases} 2y-3x=1,\\ 3x+5y=34. \end{cases} \]
Складываем уравнения:
\[ (2y-3x)+(3x+5y)=1+34, \]
\[ 7y=35,\qquad y=5. \]
Подставляем во второе уравнение:
\[ 3x+5\cdot5=34, \]
\[ 3x=9,\qquad x=3. \]
Ответ: \(\boxed{(3;5)}\).
Проверка:
\[ 2\cdot5-3\cdot3=1,\qquad 3\cdot3+5\cdot5=34. \]
2)
\[ \begin{cases} 10x-3y=38,\\ 6x+5y=50. \end{cases} \]
Умножим первое уравнение на \(5\), второе — на \(3\):
\[ \begin{cases} 50x-15y=190,\\ 18x+15y=150. \end{cases} \]
Складываем:
\[ 68x=340,\qquad x=5. \]
Подставляем во второе исходное уравнение:
\[ 6\cdot5+5y=50, \]
\[ 5y=20,\qquad y=4. \]
Ответ: \(\boxed{(5;4)}\).
Проверка:
\[ 10\cdot5-3\cdot4=38,\qquad 6\cdot5+5\cdot4=50. \]
3)
\[ \begin{cases} 6x-15y=12,\\ 4x-9y=10. \end{cases} \]
Разделим первое уравнение на \(3\):
\[ 2x-5y=4. \]
Умножим его на \(2\):
\[ 4x-10y=8. \]
Вычтем второе уравнение:
\[ (4x-10y)-(4x-9y)=8-10, \]
\[ -y=-2,\qquad y=2. \]
Подставляем:
\[ 2x-5\cdot2=4, \]
\[ 2x=14,\qquad x=7. \]
Ответ: \(\boxed{(7;2)}\).
Проверка:
\[ 6\cdot7-15\cdot2=12,\qquad 4\cdot7-9\cdot2=10. \]
4)
\[ \begin{cases} 14y-9x=5,\\ 12x+21y=33. \end{cases} \]
Умножим первое уравнение на \(4\), второе — на \(3\):
\[ \begin{cases} 56y-36x=20,\\ 36x+63y=99. \end{cases} \]
Складываем:
\[ 119y=119,\qquad y=1. \]
Подставляем во второе исходное уравнение:
\[ 12x+21\cdot1=33, \]
\[ 12x=12,\qquad x=1. \]
Ответ: \(\boxed{(1;1)}\).
Проверка:
\[ 14\cdot1-9\cdot1=5,\qquad 12\cdot1+21\cdot1=33. \]
