Номер 746 с рисунком
Ответ: \[ |\overrightarrow{BD}|=13\text{ см},\qquad |\overrightarrow{CD}|=5\sqrt2\text{ см},\qquad |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{74}\text{ см}. \]
Проведём из точки \(C\) перпендикуляр \(CH\) к основанию \(AD\).
Так как \(ABCD\) — прямоугольная трапеция, её высота: \[ CH=AB=5\text{ см}. \]
В прямоугольном треугольнике \(DCH\): \[ \angle CDH=45^\circ,\qquad \angle CHD=90^\circ. \] Значит, это равнобедренный прямоугольный треугольник: \[ DH=CH=5\text{ см}. \]
Тогда \[ AH=AD-DH=12-5=7\text{ см}. \]
Теперь найдём длины диагоналей и боковой стороны.
В прямоугольном треугольнике \(ABD\): \[ BD=\sqrt{AB^2+AD^2} =\sqrt{5^2+12^2} =\sqrt{169}=13\text{ см}. \]
В треугольнике \(DCH\): \[ CD=\sqrt{CH^2+DH^2} =\sqrt{5^2+5^2} =5\sqrt2\text{ см}. \]
В прямоугольном треугольнике \(AHC\): \[ AC=\sqrt{AH^2+CH^2} =\sqrt{7^2+5^2} =\sqrt{74}\text{ см}. \]
Проверка: в треугольнике \(DCH\) катеты равны, поэтому угол при \(D\) действительно равен \(45^\circ\).
Обсуждение
2 сообщенияотдельно дано нацти и решение
Дано:
\(ABCD\) — прямоугольная трапеция;
\[ AB=5\text{ см},\qquad AD=12\text{ см},\qquad \angle CDA=45^\circ. \]
Найти:
\[ BD,\quad CD,\quad AC. \]
Решение:
Проведём из точки \(C\) перпендикуляр \(CH\) к основанию \(AD\).
Так как трапеция прямоугольная,
\[ CH=AB=5\text{ см}. \]
В прямоугольном треугольнике \(DCH\):
\[ \angle CDH=45^\circ,\qquad \angle CHD=90^\circ. \]
Следовательно, треугольник \(DCH\) — равнобедренный прямоугольный:
\[ DH=CH=5\text{ см}. \]
Тогда
\[ AH=AD-DH=12-5=7\text{ см}. \]
- Найдём \(BD\):
\[ BD=\sqrt{AB^2+AD^2} =\sqrt{5^2+12^2} =\sqrt{25+144} =13\text{ см}. \]
- Найдём \(CD\):
\[ CD=\sqrt{CH^2+DH^2} =\sqrt{5^2+5^2} =\sqrt{50}=5\sqrt2\text{ см}. \]
- Найдём \(AC\):
\[ AC=\sqrt{AH^2+CH^2} =\sqrt{7^2+5^2} =\sqrt{74}\text{ см}. \]
Ответ:
\[ \boxed{BD=13\text{ см},\quad CD=5\sqrt2\text{ см},\quad AC=\sqrt{74}\text{ см}.} \]
