607-609 под четными цифрами
Краткий ответ
- 607: 2) \(-\dfrac{\pi}{4}\); 4) \(\dfrac{\pi}{3}\).
- 608: 2) \(0\).
- 609: 2) числа равны; 4) \(\operatorname{arctg}(-5)<\operatorname{arctg}0\).
Решение
Используем табличные значения:
\[ \operatorname{arctg}1=\frac{\pi}{4},\qquad \operatorname{arctg}\sqrt3=\frac{\pi}{3}, \]
\[ \arcsin\left(-\frac12\right)=-\frac{\pi}{6},\qquad \operatorname{arctg}0=0. \]
Также функция арктангенса нечётная:
\[ \operatorname{arctg}(-a)=-\operatorname{arctg}a. \]
607
\[ \operatorname{arctg}(-1) =-\operatorname{arctg}1 =-\frac{\pi}{4}. \]
\[ \operatorname{arctg}\sqrt3=\frac{\pi}{3}. \]
608
\[ 2\operatorname{arctg}1+ 3\arcsin\left(-\frac12\right) = 2\cdot\frac{\pi}{4} + 3\cdot\left(-\frac{\pi}{6}\right). \]
\[ \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}=0. \]
609
\[ \operatorname{arctg}\sqrt3=\frac{\pi}{3}, \qquad \arccos\frac12=\frac{\pi}{3}. \]
Следовательно,
\[ \operatorname{arctg}\sqrt3=\arccos\frac12. \]
\[ \operatorname{arctg}(-5)<0, \qquad \operatorname{arctg}0=0. \]
Значит,
\[ \operatorname{arctg}(-5)<\operatorname{arctg}0. \]
Обсуждение
8 сообщенийОбъяснить диапазоны значений обратных функций?
У обратных тригонометрических функций диапазон значений — это угол, который выбирают из специального промежутка. Это нужно потому, что один и тот же синус, косинус или тангенс имеют бесконечно много углов.
| Функция | Область определения аргумента \(x\) | Диапазон значений |
|---|---|---|
| \(\arcsin x\) | \(x\in[-1;1]\) | \(\displaystyle \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\) |
| \(\arccos x\) | \(x\in[-1;1]\) | \([0;\pi]\) |
| \(\operatorname{arctg}x\) | \(x\in\mathbb R\) | \(\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)\) |
| \(\operatorname{arcctg}x\) | \(x\in\mathbb R\) | \((0;\pi)\) |
В градусах:
\[ \arcsin x\in[-90^\circ;90^\circ], \]
\[ \arccos x\in[0^\circ;180^\circ], \]
\[ \operatorname{arctg}x\in(-90^\circ;90^\circ), \]
\[ \operatorname{arcctg}x\in(0^\circ;180^\circ). \]
Как пользоваться диапазоном
Например,
\[ \arcsin\left(-\frac12\right). \]
Синус равен \(-\frac12\) у угла \(-\frac{\pi}{6}\), и этот угол входит в диапазон арксинуса:
\[ -\frac{\pi}{6}\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]. \]
Поэтому
\[ \arcsin\left(-\frac12\right)=-\frac{\pi}{6}. \]
А если нужно найти
\[ \arccos\left(-\frac12\right), \]
то угол должен быть из промежутка \([0;\pi]\). Поэтому берём
\[ \arccos\left(-\frac12\right)=\frac{2\pi}{3}, \]
а не \(-\frac{2\pi}{3}\).
Важно:
\[ \arcsin(\sin t)=t \]
только если
\[ t\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right], \]
а
\[ \arccos(\cos t)=t \]
только если
\[ t\in[0;\pi]. \]
Именно диапазон помогает выбрать правильный угол.
Откуда ты знаешь что arctg -1 это -пи/4
\[ \operatorname{arctg}(-1) \]
означает: какой угол \(\alpha\) имеет тангенс, равный \(-1\)?
По таблице:
\[ \tg\frac{\pi}{4}=1. \]
Тангенс — нечётная функция, поэтому:
\[ \tg\left(-\frac{\pi}{4}\right) =-\tg\frac{\pi}{4} =-1. \]
Значит,
\[ \boxed{\operatorname{arctg}(-1)=-\frac{\pi}{4}}. \]
Почему именно этот угол? Арктангенс выбирает значение только из диапазона
\[ \left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right), \]
а \(-\frac{\pi}{4}\) входит в этот промежуток.
Покажи табличкой
Вот таблица основных значений тангенса:
| Угол \(\alpha\) | \(\tg\alpha\) | Поэтому \(\operatorname{arctg}(\tg\alpha)\) |
|---|---|---|
| \(-\dfrac{\pi}{3}\) | \(-\sqrt3\) | \(-\dfrac{\pi}{3}\) |
| \(-\dfrac{\pi}{4}\) | \(-1\) | \(-\dfrac{\pi}{4}\) |
| \(-\dfrac{\pi}{6}\) | \(-\dfrac{\sqrt3}{3}\) | \(-\dfrac{\pi}{6}\) |
| \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\sqrt3}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) |
| \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(1\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) |
| \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\sqrt3\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) |
В таблице видим:
\[ \tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1. \]
Значит,
\[ \boxed{\operatorname{arctg}(-1)=-\frac{\pi}{4}}. \]
Арктангенс выбирает угол из промежутка
\[ \left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right), \]
поэтому берём именно \(-\dfrac{\pi}{4}\).
Я не понял как ты из пи/4 преобразовал 1
Ты не преобразуешь \(\frac{\pi}{4}\) в \(1\). Функция тангенса берёт угол и вычисляет отношение сторон:
\[ \tg\alpha=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}. \]
Угол
\[ \frac{\pi}{4}=45^\circ. \]
В прямоугольном равнобедренном треугольнике катеты равны:
\[ \text{противолежащий катет}=a,\qquad \text{прилежащий катет}=a. \]
Поэтому
\[ \tg\frac{\pi}{4}=\frac{a}{a}=1. \]
То есть:
\[ \boxed{\tg\frac{\pi}{4}=1}. \]
Для отрицательного угла:
\[ \tg\left(-\frac{\pi}{4}\right) =-\tg\frac{\pi}{4} =-1. \]
Значит, угол, тангенс которого равен \(-1\), — это
\[ \boxed{\operatorname{arctg}(-1)=-\frac{\pi}{4}}. \]
