Реши 12

Ответ: все четыре неравенства верны при любых действительных значениях переменных.

1) \(28a-32\le 7a^2-4\)

Перенесём левую часть вправо:

\[ 7a^2-4-(28a-32) =7a^2-28a+28 =7(a-2)^2. \]

Так как квадрат неотрицателен,

\[ 7(a-2)^2\ge 0. \]

Значит,

\[ \boxed{28a-32\le 7a^2-4}. \]

Равенство достигается при \(a=2\).

2) \(9x^2-6xy+4y^2\ge 0\)

Выделим квадрат:

\[ 9x^2-6xy+4y^2=(3x-y)^2+3y^2. \]

Оба слагаемых неотрицательны, поэтому

\[ (3x-y)^2+3y^2\ge 0. \]

Следовательно,

\[ \boxed{9x^2-6xy+4y^2\ge 0}. \]

Равенство возможно только при \(x=0,\ y=0\).

3) \(3(b-1)<b(b+1)\)

Рассмотрим разность правой и левой частей:

\[ b(b+1)-3(b-1) =b^2+b-3b+3 =b^2-2b+3 =(b-1)^2+2. \]

Так как

\[ (b-1)^2+2>0, \]

то

\[ \boxed{3(b-1)<b(b+1)}. \]

4) \((4p-1)(p+1)-(p-3)(p+3)>3(p^2+p)\)

Раскроем скобки:

\[ (4p-1)(p+1)=4p^2+3p-1, \]

\[ (p-3)(p+3)=p^2-9. \]

Тогда левая часть равна

\[ 4p^2+3p-1-(p^2-9) =3p^2+3p+8. \]

Получаем:

\[ 3p^2+3p+8>3p^2+3p, \]

поскольку \(8>0\). Значит,

\[ \boxed{(4p-1)(p+1)-(p-3)(p+3)>3(p^2+p)}. \]