реши два варианта
Вычисление векторных соотношений
Мне нужно вычислить векторное соотношение. Итак, я вывел \(p = AB + AC - BC\). Используя радиус-векторы, я получаю \(p = 2AB\). Поскольку \(|p| = 16\) см, я вижу, что \(p\) должен быть вдвое длиннее \(AB\).
В другом варианте я упрощаю векторные выражения от \(PQ\) до \(PF\), проходя по цепочке точек. Похоже, что я могу получать результирующие векторы также из неколлинеарных векторов, направленных к конечному результирующему вектору. Эта задача посвящена чёткому построению таких соотношений!
Исследование векторных соотношений
Мне нужно уточнить, что я могу выбирать направления, которые не являются параллельными. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с гипотенузой \(AC\) я нахожу \(\vec{AC} - \vec{AB}\). Поэтому \(AC - AB\) превращается в \(BC\), поскольку угол при \(B\) прямой.
В другом прямоугольном треугольнике \(ABC\) с гипотенузой \(AB\) я строю вектор \(\vec{m} = \vec{BA} + \vec{BC} - \vec{CA}\). Вычисления показывают \(|m|\), если \(BC\) равен 9 см. Я прорабатываю векторные соотношения, чтобы убедиться, что всё правильно складывается!
Исследование направлений векторов
При работе с векторами \(x\), \(y\), \(z\) и \(t\) мне нужно убедиться, что они попарно неколлинеарны. Это означает, что я могу задать их в разных направлениях, хотя горизонтальные стрелки не будут работать в ASCII. Чтобы прояснить это, я мог бы привести примеры координат, такие как \(x=(3,0)\), \(y=(0,2)\), \(z=(-1,1)\) и \(t=(1,3)\), и проверить их пропорциональность, подтвердив, что они соответствуют условию. Другой набор мог бы включать \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) и \(e\), чтобы рассмотреть различные угловые коэффициенты. Необязательные примеры могли бы быть полезны, но могут усложнить изложение.
Уточнение инструкций по построению
Задание требует рисунка, который должен быть достаточно понятным для ученика. Мне нужно использовать слово «коллинеарными», а не «неколлинеарными», и построить ломаную линию. Например, если \(\vec{OA} = \vec{x}\), \(\vec{AB} = \vec{y}\), то \(\vec{OD} = \text{sum}\). Различные обозначения могут вызвать путаницу с концами векторов. Я мог бы обозначить точки как \(O\), \(A_1\), \(A_2\) и т. д. Каждую задачу нужно рассматривать независимо, и я дам краткий ответ на русском языке вместе с объяснением общего правила.
Краткие ответы
Вариант 1
- \(\overrightarrow{AK}\).
- Если последовательно отложить \(\vec x,\vec y,\vec z,\vec t\), то сумма — вектор от начала первого до конца последнего.
- \(\overrightarrow{CB}\).
- \(\vec p=2\overrightarrow{AB}\), \(\lvert\vec p\rvert=16\text{ см}\).
Вариант 2
- \(\overrightarrow{PF}\).
- Если последовательно отложить \(\vec a,\vec b,\vec c,\vec d,\vec e\), то сумма — вектор от начала первого до конца последнего.
- \(\overrightarrow{BC}\).
- \(\vec m=2\overrightarrow{BC}\), \(\lvert\vec m\rvert=18\text{ см}\).
Решение
Основное правило:
\[ \overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}=\overrightarrow{XZ}. \]
Также при вычитании вектора меняем его направление:
\[ -\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}. \]
Вариант 1
1. Упростить выражение
\[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MP} +\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{PK}. \]
Переставим слагаемые так, чтобы получилась последовательная цепочка:
\[ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{MP} +\overrightarrow{PK}. \]
Получаем путь \(A\to B\to C\to M\to P\to K\), поэтому
\[ \boxed{\overrightarrow{AK}}. \]
2. Построение \(\vec x+\vec y+\vec z+\vec t\)
Выберите точку \(O\) и последовательно отложите:
\[ \overrightarrow{OA}=\vec x,\qquad \overrightarrow{AB}=\vec y,\qquad \overrightarrow{BC}=\vec z,\qquad \overrightarrow{CD}=\vec t. \]
Направления векторов должны быть попарно непараллельными. Тогда
\[ \boxed{\vec x+\vec y+\vec z+\vec t=\overrightarrow{OD}}. \]
То есть результат — вектор от начала первого вектора до конца последнего.
3. Найти \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\)
\[ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}. \]
Переставим слагаемые:
\[ \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{CB}. \]
Следовательно,
\[ \boxed{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{CB}}. \]
4. Найти \(\vec p\) и её длину
\[ \vec p=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} -\overrightarrow{BC}. \]
Так как
\[ -\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CB}, \]
то
\[ \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB} =\overrightarrow{AB}. \]
Значит,
\[ \vec p=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB} =2\overrightarrow{AB}. \]
При \(AB=8\text{ см}\):
\[ |\vec p|=2\cdot 8=16\text{ см}. \]
Ответ:
\[ \boxed{\vec p=2\overrightarrow{AB}},\qquad \boxed{|\vec p|=16\text{ см}}. \]
Для построения отложите два равных и сонаправленных вектора \(\overrightarrow{AB}\) подряд.
Вариант 2
1. Упростить выражение
\[ \overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{EF} +\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{QA}. \]
Переставим слагаемые:
\[ \overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QA} +\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}. \]
Тогда
\[ \overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QA} =\overrightarrow{PA}, \]
\[ \overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF} =\overrightarrow{AF}. \]
Следовательно,
\[ \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AF} =\boxed{\overrightarrow{PF}}. \]
2. Построение \(\vec a+\vec b+\vec c+\vec d+\vec e\)
Выберите точку \(O\) и последовательно отложите:
\[ \overrightarrow{OA}=\vec a,\qquad \overrightarrow{AB}=\vec b,\qquad \overrightarrow{BC}=\vec c, \]
\[ \overrightarrow{CD}=\vec d,\qquad \overrightarrow{DE}=\vec e. \]
Векторы должны быть попарно непараллельными. Тогда
\[ \boxed{\vec a+\vec b+\vec c+\vec d+\vec e =\overrightarrow{OE}}. \]
3. Найти \(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\)
\[ \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}. \]
Переставим слагаемые:
\[ \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{BC}. \]
Поэтому
\[ \boxed{\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{BC}}. \]
4. Найти \(\vec m\) и её длину
\[ \vec m=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC} -\overrightarrow{CA}. \]
Так как
\[ -\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}, \]
получаем:
\[ \vec m=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC} +\overrightarrow{AC}. \]
Сгруппируем:
\[ \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC} =\overrightarrow{BC}. \]
Значит,
\[ \vec m=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC} =2\overrightarrow{BC}. \]
При \(BC=9\text{ см}\):
\[ |\vec m|=2\cdot 9=18\text{ см}. \]
Ответ:
\[ \boxed{\vec m=2\overrightarrow{BC}},\qquad \boxed{|\vec m|=18\text{ см}}. \]
Для построения отложите два равных и сонаправленных вектора \(\overrightarrow{BC}\) подряд.
