5 до 8
Решение уравнения
Я работаю над подстановкой y + 3 - 1 = y² и упрощаю её до y² - y - 2 = 0. Это приводит к решениям для y, равным 2 или -1, что даёт значения x, равные 5 или 2. Итак, у меня есть решения (5, 2) и (2, -1).
Затем я проверяю некоторые другие уравнения. Похоже, я разбираюсь с дискриминантами и подстановками для переменных вроде x и y. Я нахожу ещё один набор решений: (20/9, 1/3) и (5/2, -1/2).
Решение системы уравнений
Я работаю с несколькими уравнениями: начинаю с y² = 0.25 и перехожу к y + 3x - 7 = 0. Я могу подставить y = 7 - 3x и получить квадратное уравнение. Проверка корней даёт решения (-1, 7) и (-7, 1). Затем для x + y - 5 = 0 я могу определить значения y и найти соответствующие пары, такие как (3, 2) и (2, 3). Я обязательно всё проверю, как и было запрошено!
Краткий ответ:
\((5; 2)\), \((2; -1)\)
\(\left(\frac{20}{9}; \frac13\right)\), \(\left(\frac52; -\frac12\right)\)
\((-1; 7)\), \((-7; 1)\)
\((3; 2)\), \((2; 3)\)
Принцип метода подстановки: из одного уравнения выражаем \(x\) или \(y\), подставляем во второе уравнение, решаем полученное уравнение и находим вторую переменную.
5)
\[ \begin{cases} x-1=y^2,\\ y-x+3=0. \end{cases} \]
Из второго уравнения:
\[ x=y+3. \]
Подставим:
\[ y+3-1=y^2, \]
\[ y^2-y-2=0, \]
\[ (y-2)(y+1)=0. \]
Отсюда:
- \(y=2\), тогда \(x=5\);
- \(y=-1\), тогда \(x=2\).
\[ \boxed{(5;2),\ (2;-1)} \]
Проверка: \(5-1=2^2\), \(2-5+3=0\); для второй пары также оба уравнения верны.
6)
\[ \begin{cases} 0{,}5x-1=y^2,\\ y+3x-7=0. \end{cases} \]
Из второго уравнения:
\[ x=\frac{7-y}{3}. \]
Подставим в первое:
\[ 0{,}5\cdot\frac{7-y}{3}-1=y^2, \]
\[ \frac{7-y}{6}-1=y^2, \]
\[ \frac{1-y}{6}=y^2, \]
\[ 6y^2+y-1=0, \]
\[ (3y-1)(2y+1)=0. \]
Отсюда:
\[ y=\frac13 \quad \text{или} \quad y=-\frac12. \]
Находим \(x\):
\[ y=\frac13:\quad x=\frac{7-\frac13}{3}=\frac{20}{9}; \]
\[ y=-\frac12:\quad x=\frac{7+\frac12}{3}=\frac52. \]
\[ \boxed{\left(\frac{20}{9};\frac13\right),\ \left(\frac52;-\frac12\right)} \]
Проверка, например для второй пары:
\[ 0{,}5\cdot\frac52-1=\frac14=\left(-\frac12\right)^2, \]
\[ -\frac12+3\cdot\frac52-7=0. \]
7)
\[ \begin{cases} xy=-7,\\ y-x-8=0. \end{cases} \]
Из второго уравнения:
\[ y=x+8. \]
Подставим в первое:
\[ x(x+8)=-7, \]
\[ x^2+8x+7=0, \]
\[ (x+1)(x+7)=0. \]
Отсюда:
- \(x=-1\), тогда \(y=7\);
- \(x=-7\), тогда \(y=1\).
\[ \boxed{(-1;7),\ (-7;1)} \]
Проверка: в обеих парах \(xy=-7\), а \(y-x-8=0\).
8)
\[ \begin{cases} x+y-5=0,\\ xy-6=0. \end{cases} \]
Из первого уравнения:
\[ x=5-y. \]
Из второго:
\[ xy=6. \]
Подставим:
\[ y(5-y)=6, \]
\[ y^2-5y+6=0, \]
\[ (y-2)(y-3)=0. \]
Отсюда:
- \(y=2\), тогда \(x=3\);
- \(y=3\), тогда \(x=2\).
\[ \boxed{(3;2),\ (2;3)} \]
Проверка: в обеих парах \(x+y=5\), \(xy=6\).
